手撕boost 推导buck的公式

硬件工程师炼成之路 2021-09-08 7059

描述

这个文章我本来没打算写的，因为之前我已经写了《手撕Boost！Boost公式推导及实验验证》，在我看来，Buck与boost是完全类似的，明白一个，另外一个也就明白了。

不过后来还是陆续有粉丝问我有没有buck，那么今天就来推导下buck的公式。毕竟大家基础也是各不相同，举一反三有时还比较困难，有现成的更好。

如果没看过手撕boost的，我建议可以先看看，因为有很多的前提条件在那里面有详尽的解释。这些前提条件在buck里面也是适用的，这篇文章就不会再赘述了，罗里吧嗦也不好。

先简要说明一下文章会说哪些内容。

1、buck的拓扑结构，工作原理2、输入输出电容取值的推导过程，电感感量的计算过程3、boost各处电压，电流波形4、buck，boost公式汇总5、实际威廉希尔官方网站应用情况

Buck的拓扑结构

Buck是直流转直流的降压威廉希尔官方网站，下面是拓扑结构，作为硬件工程师，这个最好是能够记下来，了然于胸。

为啥要记下来，自然是因为这个威廉希尔官方网站太基础了，并且谁都会用到，更重要的一点，面试可能会考。。。

上图是个异步buck，同步buck就是将里面的二极管换成MOS管。

我用异步buck来分析的原因，就是觉得它要复杂一点，多了一个二极管导通压降，如果异步的明白了，那么同步的自然也明白了。

并且，根据这个拓扑推导的公式也是适用同步Buck的，只需要让公式里面的二极管压降为0即可。

首先，还是来看下工作原理。

工作原理其实非常简单，上图中MOS管就是一个开关，只要这个速度够快（开关频率够高），控制好导通与关断时间（电感充放电时间），配合输出滤波电容，就可以得到基本稳定的Vo了，也就是输出电压。

下面来看下两个过程，开关导通和开关断开。

先看开关导通

开关导通时，二极管不导通，我们看电感，电感左边是Vi，右边是Vo，因为是降压，所以左边大于右边，那么电感两端电压是Vi-Vo，为恒定值。如果把电感电流向右定义为正，那么电感电流是线性增大的，因为L*di/dt=Vi-Vo，那么di/dt=(Vi-Vo)/L=常数。

开关断开时，电感要续流，会产生反向电动势，让二极管导通，二极管导通电压是Vd。因为二极管阳极接地，所以阴极电压是-Vd，也就是电感左边的电压就是-Vd，右边的电压是Vo不变，因此电感两端电压是-Vd-Vo。此时电感电流是线性减小的，因为L*di/dt=-Vd-Vo，di/dt=-(Vo+Vd)/L=常数，并且是负值，所以是线性减小的。

推导公式

我们推导公式，是为了选型，选择输入滤波电容，输出滤波电容，电感。

那么先把已知条件列出来

首先是输入电压Vi，输出电压Vo，输出电流Vo/R，咱总得知道自己想要什么吧，所以这些在设计之初都是已知的。

其次是开关频率f，这个在芯片选型之后就是确定的了。

再然后就是设计的目标，输入纹波大小△Vi，输出纹波大小△Vo。

我们根据这些已知的量，就可以求得电感感量，输入滤波电容大小，输出滤波电容大小。

因为计算的基本原理其实就是电容和电感的充放电。所以，我们首先要求的就是开关导通的时间和断开的时间，或者说是占空比。

这个也非常简单，我们可以这么想。

在开关导通的时候，电感两端电压是Vi-Vo。

在开关断开的时候，输出端电压为Vo，二极管导通，那么电感右侧就是Vo，电感左侧接的是-Vd，所以此时电感两端电压是Vo+Vd。

整个威廉希尔官方网站稳定之后，因为负载电流恒定，那么一个周期时间之内，在开关导通时电感电流增加的量，要等于开关截止时，电感电流减小的量，即电感充了多少电就要放多少电，不然负载的电流或者电压就要发生变化。

即一个周期内，电感电流增大量等于减小量。

然后又因为U=Ldi/dt，di/dt=U/L，L不变，所以电感电流变化速度与电压成正比。

简单说就是，电感电流上升或下降的斜率与电压成正比。

斜率与电压成正比，电感电流上升的高度与下降高度又相同，那上升时间不就和电压成反比了吗？

所以，自然就有了：

Ton/Toff=(Vo+Vd)/(Vi-Vo)

我们变换一下，就得到了江湖所传的“伏秒法则”

再根据T=Ton+Toff=1/f

我们可以分别求得导通时间，关断时间，占空比。

如果是同步buck，那么Vd=0，则会见到我们经常看见的公式:

功率电感选择

我们电感选型首先需要考虑两个参数，电感感量和电感电流。

电感电流分为2个，平均电流IL和纹波电流△IL。

先看平均电流

显然，输出电压Vo基本不变，也就是说输出滤波电容两端电压没有变化，那么电容的平均电流为0，根据输出节点的基尔霍夫电流定律，节点电流和为0，那么电感的平均电流就等于负载的平均电流Io。

即IL=Io=Vo/R。

然后我们再来求电感的纹波电流△IL

从前面知道，电感电流就是个三角波，在开关导通时电感电流增大，在关断时，电感电流减小。

那纹波电流的大小求起来就简单了，就等于在开关导通时电感电流增大的值，也等于关断时电感电流减小的值。

我们就计算其中一个，计算开关导通时电感电流增大了多少吧。

这个也非常easy，开关导通，电感两端电压是Vi-Vo，导通时间Ton前面已经求出来了。

根据U=Ldi/dt就可以求出电感电流纹波△IL=di=U/L*Ton

可以看到，电感电流的纹波跟负载电流的大小没有关系。

同时呢，我们也很容易得到电感的峰值电流，就是电感的平均电流加上纹波电流的一半嘛，即ILp=IL+△IL/2=Io+△IL/2。

也就是：

计算这个峰值电流有什么用呢？

电感选型时，电感的饱和电流必须大于这个ILp，并且要留一定的裕量。

现在我们已经写出来了电感的平均电流IL，电感的纹波电流△IL，△IL应该是IL的20%-40%为宜。

即：△IL=(0.2~0.4)*IL

根据这个范围，就能求得我们的电感值范围了。

输入滤波电容计算

我们在确定输入滤波电容的时候，是有一个假设的，这个假设是什么呢？

输入电源默认来自远方，是没法提供快速变化的电流的。

实际应用中，输入电源可能距离很远，有了很长的走线，走线越长，寄生电感就越大，也就是说输入电源不能快速响应这个Buck输入电流的需求。

因此，我们在一个周期时间内，可以将输入电源的电流看作是恒定的，稳定状态下，这个电流也等于电源输入的平均电流Ii，我们先求一下电源输入的平均电流Ii。

怎么求电源的输入电流呢？

很简单，使用能量守恒定律就可以了。

不考虑MOS管的损耗的话，那么用耗电的器件有2个，一个是二极管，一个是负载R。

由工作原理可知，二极管只在MOS开关断开时有电流流过，其电流等于电感电流，并且一个周期内有电流流过的时间为Toff，所以二极管的平均电流也等于电感的平均电流，为IL=Io。

一个周期内二极管流过电流的时间为Toff，电流为IL，导通压降为Vd。

所以二极管的功率为：

Pd=Vd*Io*Toff*f =Vd*Io *(Vi-Vo)/(Vi+Vd)

负载的功率是Pr=Io*Vo

电源输入功率Pi=Vi*Ii

根据能量守恒，Pi=Pr+Pd，可以得到输入电源的平均电流Ii为：

现在已经求出Ii，在一个周期内，电源的输入电流可以看成恒定值，为Ii。

了解了这个前提条件，我们回到目标：计算输入滤波电容的容量

我们先理清下思路，输入电压纹波就是输入电容上面的电压变化。电容上面的纹波变化可以分成两个部分。

一个是电容放电或者是充电，存储了电荷量发生了变化，这个变化会导致电压变化，可以用公式Q=CUq来表示，Uq即是电压的变化。

另一个是电容有等效串联电阻ESR，电容充放电时有电流流过，电流流过ESR会产生压降，这个压降用Uesr表示吧。

所以，电压纹波应该是：

△Vi=Uq+Uesr

1、电容电荷量变化引起的压降Uq

我们看输入节点，这个节点的电流有3个，一个是来自电源Vi输入的，前面说了，在一个周期内，它可以看作是恒定的，一个节点是电容，另外一个节点是开关。

根据基尔霍夫电流定律，节点电流和为0，并且电源输入的电流恒定为Ii，那么输入电容电流的变化量必然等于开关电流的变化量，因为最终3者的和为0。

也就是说，开关断开时，开关电流为0，那么电源输入的电流全都流进输入电容，电容被充电，此时电容的充电电流为Ii。而开关导通时，电感需要续流，这个电流由电源输入和输入滤波电容二者共同提供，电容此时放电。

并且，开关切换的时候，开关电流是突变的。而三者电流和为0，那么电容的电流必然也是突变的。

我们画出三者的电流波形如下：

一个周期内，电容的充电电荷量和放电电荷量必然一样，我们计算出其中一个就行了。

显然，充电的时候更好计算，因为充电时开关断开，电容的电流就是电源的输入电流，是恒定的，为Ii。

根据Q=I*t，那么充入的电荷量为Q=Ii*Toff，电容充入电荷，会导致电压变大，这个电压的增量这里取个名字叫Uq，那么Q=Uq*C，也就是Uq=Q/C=Ii*Toff/C

最终可以求得Uq

2、电流流过电容的ESR造成的压降Uesr

想要知道ESR造成的纹波大小，我们只需要知道流过电容的电流就知道了，因为电压等于电流乘以ESR。

我们把电容的电流波形单独画一下。

这个波形下面解释下：

在开关断开的时候，电源输入电流Ii全部进入输入滤波电容，因为li恒定，因此输入滤波电容的电流就是恒定为li，此时电容充电，如果我们把充电电流定义为正，那么电流就是+li。

在开关导通之后，电感原本从二极管续流，变成了从MOS管续流，因为之前电感一直在放电，所以切换时电感电流最小，等于IL-△IL/2，在整个Ton时间段内，电感是被充电的，所以电感电流一直在增大，直到达到峰值电流IL+△IL/2。

并且在Ton时间内，电感电流走的是MOS管通路，因此，Mos管电流最大也是IL+△IL/2。根据输入节点电流和为0，这个电流等于输入电源电流Ii和滤波电容的放电电流，所以滤波电容的最大放电电流为IL+△IL/2-Ii。因为前面定义了充电电流为正，那么放电电流就为负，即滤波电容电流是：-(IL+△IL/2-Ii)。

知道了电流，ESR，那么我们就知道了纹波大小。

在开关断开时，ESR上面产生的压降是恒定的，为：Ii*ESR

在开关导通后，ESR上面产生的最大压降是：-(IL+△IL/2-Ii)*ESR

两者相减，得到的就是一个周期内ESR引起的纹波大小，也就是：

Uesr=(IL+△IL/2)*ESR

计算过程如下：