探讨一下基于符号抽象的程序分析

软件已经无处不在，软件质量问题也越来越普遍，其造成的系统崩溃、安全漏洞等可能带来经济上的损失，甚至威胁我们的生命。程序分析是保障软件质量的基础技术和重要手段，已被广泛应用于提高软件的可靠性、安全性、性能等多个维度的质量。

今天，我们探讨一类特殊的程序分析方法，基于符号抽象的程序分析。首先我会简单回顾一下 抽象解释 —— 静态分析的核心理论。抽象解释的核心问题之一是，计算程序状态在给定抽象域内的最佳抽象。针对这个问题，我会介绍符号抽象框架以及几个和符号抽象有关的其他话题。

# 抽象解释 #

抽象解释是静态分析的核心理论 [1]，其关键想法是对程序的可达状态做一个上近似。

如下图，假设左边的黄色椭圆代表程序的可达状态 Reachable States，右边的黄色椭圆代表有缺陷的状态 Bad States。我们想验证这个程序是否有缺陷，即 Reachable States 是否可能和 Bad States 相交。

静态分析可以对程序的可达状态做推理，比如算出一个红色区域。最终红色区域可以完全覆盖左边的黄色区域，因此我们得到了一个上近似。而且我们看到左边红色区域和 Bad States 并不相交，因此我们成功地验证了这个程序是安全的。

# 1.1 抽象解释的应用

过去 20 多年来，抽象解释在工业界得到了很多应用，以下三个可能是比较有代表性的。

第一个是 Astrée，基于数值域抽象解释，已经成功用于验证航空航天等安全攸关场景的软件。

第二个是 TVLA，主要做形态分析，比如验证垃圾回收算法是否真的回收了内存垃圾。TVLA 把形态分析这个概念给发扬光大了，启发了很多后续工作，比如基于分离逻辑的形态分析。

第三个是 CodeSurfer/x86，它提出的 Value Set Analysis (VSA) 已经成为了二进制静态分析框架的标配。

此外，抽象解释在学术领域也获得多个荣誉，包括 2013 年 SIGPLAN 的程序语言成就奖， 2018 年的约翰·冯诺依曼奖等。

# 1.2 抽象域及其要素

抽象解释会通过抽象域来对程序的状态做数学近似，比如数值域、堆域、字符串域等。其中，数值域可以用来捕捉程序的数值信息，用于查找不同的程序缺陷，包括除零错误、整数溢出等。

由于抽象解释是对程序的可达状态做上近似，它往往伴随着一些精度问题。比如我们再次看这个图，右边的黄色区 Bad States 和红色区域 (静态分析的结果) 是相交的，但事实上 Bad States 和左边的黄色区域 Reachable States 并不相交，因此我们的静态分析存在误报。

# 1.3 最佳抽象

给定一个抽象域比如区间域，怎么计算程序在该抽象域上的、最精确的上近似呢？事实上，这也是抽象解释理论的一个核心问题：给定一个具体迁移函数 以及抽象域 ，如何得到 在 上的最佳抽象  (最精确的抽象迁移函数)？

抽象解释理论对 有一个声明式的定义，但是这个定义是“非构造性”的。通常我们没有自动化的算法，去应用最佳抽象迁移函数 ，或者去得到 的一个表示。

最佳抽象的形式化定义：

# 符号抽象框架 #

为了解决以上问题，研究人员提出了符号抽象框架。

# 2.1 框架定义和实例

假设我们用逻辑约束 φ 来编码一个程序的具体状态，并且把抽象域  看作一个比较受限的逻辑片段 (比如“区间逻辑”)。符号抽象的目标就是找到约束 φ 在抽象域  上的、最精确的上近似 [2]。

我们也可以从逻辑的角度来理解 [3]。给定一个约束 φ 和一个逻辑片段  (对应于抽象域), 找到约束 φ 在  中的最强逻辑后承 (strongest logical consequence)。

下面是一个具体的例子：

考虑约束 φ ，其中  是整数变量。这个约束有四个可行解 。我们可以一眼看出，约束 φ 在区间域的最佳近似是 。但是，在一般情况下，我们应如何计算出一个约束的最佳区间近似呢？这就是符号抽象需要解决的问题。

# 2.2 框架意义和应用

通常，为了实现一个静态分析器，我们需要建模不同的程序指令 (比如加减乘除)，为其设计不同的抽象迁移函数、并将这些迁移函数组合起来。而使用符号抽象框架后，我们就可以用一个约束来精确编码一整块代码，并且自动得到对于该代码的最精确近似。

符号抽象的理论和实际意义

然而，由于符号抽象的性能问题，目前在真实的静态分析器中很少得到应用。当前的少量应用主要包括两块。

一是上层源代码的验证分析，包括数值属性、堆属性等的验证。对于数值验证，国防科大的陈立前教授就有相关工作 [4]。目前这些工作主要面向一些相对小规模的程序验证。

其次是二进制分析，比如做控制流恢复 control flow recovery 等。在欧洲有几个团队一直有做相关的工作，GrammaTech 甚至已经将符号抽象用到二进制分析产品中。

但即便有工业级应用，符号抽象在形式化、编程语言、甚至抽象解释社区也都还不够普及。

# 延伸思考 #

下面分享一些引申思考。回到符号抽象的定义： 是表达力丰富的逻辑，抽象域 对应于 一个子集 。给定 ，找到它在 的最强逻辑后承。

其实计算机科学中的很多问题都跟这个问题相关，下面我们举几个例子。

第一个是谓词抽象 predicate abstraction [5]，它可以看作符号抽象的一个特殊实例。假设我们有一些谓词集合

，

谓词抽象的抽象域 就是 中命题的任意布尔组合，比如 。在用于程序验证时，结合一些不动点迭代方式，我们还能算出 能表达的最强循环不变式。

第二个是量词消去 quantifier elimination。给定 ，假设抽象域  是只使用特定约束变量集合  的约束。那么，存在量词消去 existential quantifier elimination 的目标就是计算  在  中的最强逻辑后承。

第三个是人工智能里面的 Forgetting 问题 [6]，和量词消去问题类似。这是港科大 Fangzhen Lin 教授发明的概念，在逻辑 AI 领域很有名。

第四个是 线性规划 问题，它也可以看作符号抽象问题的一个实例。 即线性约束集合， (其中， 是线性目标函数)。

个人认为符号抽象问题有超越静态分析、编程语言，甚至超越计算机科学领域的意义，具有深远的理论蕴含。而且针对相关问题的算法也有一些共通性，比如基于模型的泛化等。

# 总结与展望 #

最后，我们一起从 程序合成 的视角来理解符号抽象 (程序合成是指如何自动从规约中生成程序)。那么，回顾今天的主题，我们的规约是什么？我们应如何从这个规约中生成静态分析器呢？

审核编辑：刘清