浅谈图像处理-harris角点检测算法

通常意义上来说，角点就是极值点，即在某方面属性特别突出的点，是在某些属性上强度最大或者最小的孤立点、线段的终点。 对于图像而言，其是物体轮廓线的连接点。

1     harris角点检测算法思想

算法的核心是利用局部窗口在图像上进行移动，判断灰度是否发生较大的变化。如果窗口内的灰度值（在梯度图上）都有较大的变化，那么这个窗口所在区域就存在角点。

这样就可以将 Harris 角点检测算法分为以下三步：

1,当窗口（局部区域）同时向 x （水平）和 y（垂直） 两个方向移动时，计算窗口内部的像素值变化量 E(x,y);

2,对于每个窗口，都计算其对应的一个角点响应函数 R;

3,然后对该函数进行阈值处理，如果 R>threshold，表示该窗口对应一个角点特征。

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建立数学模型

第一步是通过建立数学模型，确定哪些窗口会引起较大的灰度值变化。让一个窗口的中心位于灰度图像的一个位置(x,y)，这个位置的像素灰度值为I(x,y)，如果这个窗口分别向 x和 y 方向移动一个小的位移u和v，到一个新的位置 (x+u,y+v)，这个位置的像素灰度值就是I(x+u,y+v)。|I(x+u,y+v)−I(x,y)|就是窗口移动引起的灰度值的变化值。

设w(x,y)为位置(x,y)处的窗口函数，表示窗口内各像素的权重，最简单的就是把窗口内所有像素的权重都设为1，即一个均值滤波核。当然，也可以把 w(x,y)设定为以窗口中心为原点的高斯分布，即一个高斯核。

如果窗口中心点像素是角点，那么窗口移动前后，中心点的灰度值变化非常强烈，所以该点权重系数应该设大一点，表示该点对灰度变化的贡献较大；而离窗口中心（角点）较远的点，这些点的灰度变化比较小，于是将权重系数设小一点，表示该点对灰度变化的贡献较小。

则窗口在各个方向上移动(u,v)所造成的像素灰度值的变化量公式如下：

若窗口内是一个角点，则E(u,v)的计算结果将会很大。为了提高计算效率，对上述公式进行简化，利用泰勒级数展开来得到这个公式的近似形式。

对于二维的泰勒展开式公式为：

T(x,y)=f(u,v)+(x−u)fx(u,v)+(y−v)fy(u,v)+....

则I(x+u,y+v) 为：

I(x+u,y+v)=I(x,y)+uIx+vIy

其中Ix和Iy是I的微分（偏导），在图像中就是求x 和 y 方向的梯度图：

Ix=∂I(x,y)/∂x

Iy=∂I(x,y)/∂y

将I(x+u,y+v)=I(x,y)+uIx+vIy代入E(u，v)可得：

提出 u 和 v ，得到最终的近似形式：

其中矩阵M为：

最后是把实对称矩阵对角化处理后的结果，可以把R看成旋转因子，其不影响两个正交方向的变化分量。经对角化处理后，将两个正交方向的变化分量提取出来，就是 λ1 和 λ2（特征值）。 

这里利用了线性代数中的实对称矩阵对角化的相关知识，有兴趣的同学可以进一步查阅相关资料。

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角点响应函数R

现在我们已经得到E(u,v)的最终形式，别忘了我们的目的是要找到会引起较大的灰度值变化的那些窗口。

灰度值变化的大小则取决于矩阵M，M为梯度的协方差矩阵。在实际应用中为了能够应用更好的编程，所以定义了角点响应函数R，通过判定R大小来判断像素是否为角点。

计算每个窗口对应的得分（角点响应函数R定义）：

其中 det(M)=λ1λ2是矩阵的行列式，trace(M)=λ1+λ2是矩阵的迹。λ1和 λ2是矩阵M的特征值，k是一个经验常数，在范围 (0.04, 0.06) 之间。R的值取决于M的特征值，对于角点∣R∣很大，平坦的区域∣R∣很小，边缘的R为负值。

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角点判定

根据 R 的值，将这个窗口所在的区域划分为平面、边缘或角点。为了得到最优的角点，我们还可以使用非极大值抑制。

注意：Harris 检测器具有旋转不变性，但不具有尺度不变性，也就是说尺度变化可能会导致角点变为边缘。想要尺度不变特性的话，可以关注SIFT特征。

因为特征值 λ1 和 λ2 决定了 R 的值，所以我们可以用特征值来决定一个窗口是平面、边缘还是角点：

平面:该窗口在平坦区域上滑动，窗口内的灰度值基本不会发生变化，所以∣R∣ 值非常小，在水平和竖直方向的变化量均较小，即 Ix和 Iy都较小，那么 λ1 和 λ2 都较小；

边缘：∣R∣值为负数，仅在水平或竖直方向有较大的变化量，即 Ix和Iy只有一个较大，也就是 λ1>>λ2 或 λ2>>λ1；

角点：[公式] 值很大，在水平、竖直两个方向上变化均较大的点，即 Ix和 Iy都较大，也就是 λ1 和 λ2 都很大。

如下图所示：

Harris 角点检测的结果是带有这些分数 R 的灰度图像，设定一个阈值，分数大于这个阈值的像素就对应角点。

编辑：黄飞