一维信号小波阈值去噪

1、小波阈值处理基本理论

所谓阈值去噪简而言之就是对信号进行分解，然后对分解后的系数进行阈值处理，最后重构得到去噪信号。该算法其主要理论依据是：小波变换具有很强的去数据相关性，它能够使信号的能量在小波域集中在一些大的小波系数中;而噪声的能量却分布于整个小波域内。因此，经小波分解后，信号的小波系数幅值要大于噪声的系数幅值。可以认为，幅值比较大的小波系数一般以信号为主，而幅值比较小的系数在很大程度上是噪声。于是，采用阈值的办法可以把信号系数保留，而使大部分噪声系数减小至零。小波阈值收缩法去噪的具体处理过程为：将含噪信号在各尺度上进行小波分解，设定一个阈值，幅值低于该阈值的小波系数置为0，高于该阈值的小波系数或者完全保留，或者做相应的“收缩（shrinkage）”处理。最后将处理后获得的小波系数用逆小波变换进行重构，得到去噪后的信号。

2、阈值函数的选取

小波分解阈值去噪中，阈值函数体现了对超过和低于阈值的小波系数不同处理策略，是阈值去噪中关键的一步。设w表示小波系数，T为给定阈值，sign（*）为符号函数，常见的阈值函数有：

硬阈值函数：（小波系数的绝对值低于阈值的置零，高于的保留不变）

软阈值函数：（小波系数的绝对值低于阈值的置零，高于的系数shrinkage处理）

式（3-8）和式（3-9）用图像表示即为：

值得注意的是：

1）硬阈值函数在阈值点是不连续的，在下图中已经用黑线标出。不连续会带来振铃，伪吉布斯效应等。

2）软阈值函数，原系数和分解得到的小波系数总存在着恒定的偏差，这将影响重构的精度

同时这两种函数不能表达出分解后系数的能量分布，半阈值函数是一种简单而经典的改进方案。见下图：

3、阈值的确定

选取的阈值最好刚好大于噪声的最大水平，可以证明的是噪声的最大限度以非常高的概率低于（此阈值是Donoho提出的），其中根号右边的这个参数（叫做sigma）就是估计出来的噪声标准偏差（根据第一级分解出的小波细节系数，即整个det1绝对值系数中间位置的值），本文将用此阈值去处理各尺度上的细节系数，注意所谓全局阈值就是近似系数不做任何阈值处理外，其他均阈值处理。

4、阈值策略

5、一维信号的多级分解与重构

以下算法如果用简单的文字描述，可是：先将信号对称拓延（matlab的默认方式），然后再分别与低通分解滤波器和高通分解滤波器卷积，最后下采样，最后可以看出最终卷积采样的长度为floor（n-1）/2+n，如果想继续分解下去则继续对低频系数CA采取同样的方式进行分解。

6、matlab实现一维小波阈值去噪

1，核心库函数说明

1）wnoisest函数

作用：估计一维小波高频系数中的噪声偏差

这个估计值使用的是绝对值中间位置的值（估计的噪声偏差值）除以0.6745（MedianAbsoluteDeviation/0.6745），适合0均值的高斯白噪声

2）wavedec函数

一维信号的多尺度分解，将返回诸多细节系数和每个系数的长度，在matlab中键入“docwavedec”具体功能一目了然

3）waverec函数

一维信号小波分解系数的重构，将返回重构后的信号在matlab中键入“docwaverec”具体功能一目了然，也可以键入“openwaverec”查看matlab具体是怎么做的。

4）wdencmp函数

这个函数用于对一维或二维信号的压缩或者去噪，使用方法：

1［XC，CXC，LXC，PERF0，PERFL2］=wdencmp（‘gbl’，X，‘wname’，N，THR，SORH，KEEPAPP）

2［XC，CXC，LXC，PERF0，PERFL2］=wdencmp（‘lvd’，X，‘wname’，N，THR，SORH）

3［XC，CXC，LXC，PERF0，PERFL2］=wdencmp（‘lvd’，C，L，‘wname’，N，THR，SORH）

wname是所用的小波函数，gbl（global的缩写）表示每层都采用同一个阈值进行处理，lvd表示每层用不同的阈值进行处理，N表示小波分解的层数，THR为阈值向量，对于格式（2）（3）每层都要求有一个阈值，因此阈值向量THR的长度为N，SORH表示选择软阈值还是硬阈值（分别取为’s’和’h’），参数KEEPAPP取值为1时，则低频系数不进行阈值量化处理，反之，则低频系数进行阈值量化。XC是消噪或压缩后的信号，［CXC，LXC］是XC的小波分解结构，PERF0和PERFL2是恢复和压缩L^2的范数百分比，是用百分制表明降噪或压缩所保留的能量成分。

3.代码实现

clear;

%获取噪声信号

loadleleccum;

indx=1:3450;

noisez=leleccum（indx）;

%信号的分解

wname=‘db3’;

lev=3;

［c，l］=wavedec（noisez，lev，wname）;

%求取阈值

sigma=wnoisest（c，l，1）;%使用库函数wnoisest提取第一层的细节系数来估算噪声的标准偏差

N=numel（noisez）;%整个信号的长度

thr=sigma*sqrt（2*log（N））;%最终阈值

%全局阈值处理

keepapp=1;%近似系数不作处理

denoisexs=wdencmp（‘gbl’，c，l，wname，lev，thr，‘s’，keepapp）;

denoisexh=wdencmp（‘gbl’，c，l，wname，lev，thr，‘h’，keepapp）;

%作图

subplot（311），

plot（noisez），title（‘原始噪声信号’）;

subplot（312），

plot（denoisexs），title（‘matlab软阈值去噪信号’）;

subplot（313），

plot（denoisexh），title（‘matlab硬阈值去噪信号’）;