对五种改善EMD端点效应的方法进行分析

引言

1998 年，Huang 等人提出了一种新的信号处理方法：经验模态分解方法（Empirical Mode Decomposition,EMD）。它用不同特征尺度的数据序列本征模函数（Intrinsic Mode Function,IMF）分量来逐级分解信号。

该方法可以对一个非平稳信号进行平稳化处理。

在EMD分解中，每个IMF需要多次“筛选”过程，而每一次筛选过程，需要根据上、下包络计算出信号的局部平均值。上（下）包络是由信号的局部极大（小）值通过3次样条插值得到的。但信号的端点不可能同时处于极大值或极小值，因此上、下包络在数据序列两端会发散，且这种发散会随着运算的进行而逐渐向内，从而使得整个数据序列受到影响，这就是所谓的EMD 方法的端点效应。

国内外很多研究者对改进EMD端点效应问题进行了研究。目前，常用的EMD 端点效应处理方法有镜像法、极值延拓法、神经网络预测、多项式外延方法、平行延拓法、边界局部特征尺度延拓法。神经网络延拓算法的运算速度慢，在工程应用中实时性差。所以本文只对镜像法、极值延拓法、多项式法、平行延拓法和边界局部特征尺度延拓法进行比较，从而得到对工程应用有指导意义的结果。

1 EMD方法

EMD方法中假设：

（1）任何信号都可以分解为若干个IMF分量；

（2）各个IMF分量可以是线性的或非线性的，局部的零点数和极值点数相同，且上下包络关于时间轴局部对称；

（3）一个信号可包含若干个IMF分量。

每个IMF分量的计算步骤为：

首先，计算原信号x（t） 的极值点，然后用三次样条函数拟合出极大（小）值包络线e+（t）（ e-（t））。原信号的均值包络m1（t） 是上下包络线的平均值：

若h11（t） 不满足IMF 定义的条件，则它不是平稳信号，重复进行上述过程k 次（ k 一般小于10），直到找到满足IMF的定义的h1k （t） ,则x（t） 的一阶IMF分量为：

将r1（t） 作为原始数据，再得到第2个IMF分量c2 （t） ,依此类推，得到n 个IMF 分量，直到rn （t） 是单调函数或常量时，EMD分解过程停止。

最后，x（t） 经EMD分解后得到：

式中rn （t） 为趋势项，代表信号的平均趋势或均值。

2 改善端点效应的几种方法

本文在Matlab下实现了5种常用的改善EMD 端点效应的方法，并用于比较测试，它们分别为：

（1）端点镜像方法。以信号两端的边界为对称，把信号向外映射，得到原信号的镜像，形成一个闭合的曲线，从而得到完整的包络曲线。

（2）极值延拓法。以端点的一个特征波为依据，在两端各延拓两个极大值和极小值。

（3）多项式拟合法。对原信号的极值点序列，利用端点处3 个极值点进行多项式拟合计算出的值作为端点处极值点的近似取值，以确定边界极值点的位置。

（4）平行延拓法。利用端点附近的两个相邻极值点（一个极大值，一个极小值）处斜率相等这一特性，人为在两端定义出两个极值点。

（5）边界局部特征尺度延拓法。把调幅趋势和端点处局部极值点的时间间隔相结合，在信号两端分别添加一对极大值点和极小值点。

3 端点效应评价指标

本文采用3个指标来评价多种端点效应处理方法的效果：

（1）计算EMD 分解后各分量信号与对应的原信号之间的相似系数ρ 信号的包络发生形状畸变，引起端点效应，从而使各个分量的分解不准确。可以比较EMD分解后的各IMF分量和原信号分量之间的相似度，来评价各抑制端点效应算法的抑制效果。

式中：cov-（ ） 表示协方差；σ-（ ） 表示方差；IMFi 表示信号经过EMD分解后的第i 个模态分量；xi 为相对应的原信号组成分量。ρ 值越大，说明端点效应的抑制越好。

（2）计算EMD 分解后得到的各IMF 分量和原信号相应的分量之间的平均相对误差[9].

式中：N 表示信号的总个数；xi（k） 表示原信号第i 个分量；IMFi（k） 表示EMD 分解后得到的相应分量。

error_IMFi 越小，说明端点效应的抑制越好。

（3）运算时间。保证算法抑制端点效应效果的前提下，算法不能过于复杂，以满足实时性。

4 实验结果分析

假定测试信号是一个调频调幅非线性仿真信号，其表达式为：

式中采样频率1 000 Hz,采样点数250 点，时域波形如图1所示。

为了比较延拓后的分解结果，将原信号的组成分量一并给出，图2是没有进行端点处理的信号EMD分解结果，从图中可以看到，在两端点处有比较大的失真，并且会“ 向内污染”.图2~图7 中虚线为原分量；实线为EMD的分解结果。

图3~图7分别是用端点镜像方法、多项式拟合法、极值延拓法、平行延拓法和边界局部特征尺度延拓法延拓后得到的EMD分解结果。

由图可知，这几种方法都有效改善了EMD 的端点效应，其中极值延拓法对于端点效应的改善比较明显，其他方法得到的结果，在两端仍有发散现象。表1给出了文中所述5种端点抑制方法对所给信号处理后的性能评价结果。

由表1给出参数可看出，对于给定准周期的测试信号，极值延拓法分解得到相似系数最大，分解误差最小，分解精度最高；平行延拓法得到的相似系数最小，分解误差最大，分解精度较低。比较运行时间，极值延拓法和平行延拓法计算速度最快，多项式拟合法耗时较长。

5 结语

在EMD 分解过程中，由于多次对局部极大值和局部极小值运用3次样条插值，从而产生了引起失真的端点效应。对于本文给出的准周期的测试信号，端点镜像方法、多项式拟合法、极值延拓法、平行延拓法和边界局部特征尺度延拓法5种方法都能改善EMD分解的端点效应问题。其中，极值延拓法是5种方法中分解效果最好的、运算速度最快的延拓方法，在工程技术应用中处理类似的信号，可以将其作为端点效应处理的主要方法。当然，工程应用中的信号千差万别，对于不同形式的信号，各种改善EMD 端点效应的延拓方法性能各异。在实际应用中，最好根据所处理信号的特点选择合适的延拓方法。本文所用评价方法，只对实际工程选用合适的延拓方法提供一个参考。