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无向图 /(G(V,E)/) 的密度 /(D = /dfrac {|E|} {|V|}/)
若选择了边 /((u,v)/) 则必须有 /(u /in V , v /in V/) 最大密度子图 具有最大密度的子图，最大化 /(D' = /dfrac {|E'|} {|V'|}/)根据之前的分数规划 可以二分答案 并且有如下引理
现在的主要问题是如何 /(Judge/) 设要检验的值为 /(g/) , 构造函数 $f = |E| - g|V| $ , 现在的目标是使得 /(f/) 最大 有两种方法 |
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1. 最大权闭合子图
目标： 最大化 /(f = |E| - g|V|/) 把无向边 /((u,v)/) 看做一个点连接两条有向边指向 /(u/) 和 /(v/) 原图的点权值设为 /(-g/) ， 边的点为 /(1/) ,这样就转成了最大权闭合子图的问题 |
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2.优化算法（诱导子图最小割）
对于点集 /(V'/) , 显然能选的边要尽可能的都选上 所有能选的边为 /(V'/) 中点的度的和减去割 /([V',/overline{V'}]/) 的容量的一半 /[|E'| = /dfrac {/sum_{v/in V'}deg(v) -c[V',/overline{V'}]}2/] /[f = /dfrac 12/big(/sum_{v/in V'}deg(v)-c[V',/overline{V'}] - 2/sum_{v /in V'}g/big) // = /dfrac 12/big(/sum_{v/in V'}(deg(v)-2g)-c[V',/overline{V'}] /big)/] 按如下建图, /(U/) 是一个大常数，保证边权不是负数 割 /([S,T]/) , /(S = {s} + V'/) ,/(T = {t} + /overline{V'}/) 割的容量 /(c[S,T]/) 有四个部分 /(s/to t/) ： /(0/) /(s /to /overline{V'}/) : /(/sum_{v /in /overline{V'}}U/) /(V' /to /overline{V'}/) ： 其实就是 /(c[V',/overline{V'}]/) /(V' /to t/) ： /(/sum_{v/in V'}U+2g-d_v/) /[c[S,T] = c[V',/overline{V'}] + Un + /sum_{v /in V'}2g-d_v = Un -2f/] 所以最大化 /(f/) 即最小化 /(c[S,T]/) ，求最小割就可以了 |
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