一、引言
DFT（离散傅里叶变换）作为将信号从时域转换到频域的基本运算，在各种数字信号处理中起着核心作用，其快速算法FFT（快速傅里叶变换）在无线通信、语音识别、图像处理和频谱分析等领域有着广泛的应用。用大规模集成威廉希尔官方网站
FPGA（现场可编程门阵列）来实现FFT算法时，需要重点考虑的不再是算法运算量，而是算法的复杂性、规整性和模块化，因为算法的简单性和规整性将更适合大规模集成，更方便于版图设计，而算法的模块化更有利于FFT处理器的灵活扩展。组合数FFT算法和CORDIC（坐标旋转数字计算机）算法结合起来，在计算长点数、可扩展FFT时具有较大的优越性。而面向高速、大容量数据流的FFT的实时处理，可以通过VLSI（超大规模集成威廉希尔官方网站
）器件的并行处理或多级流水线处理等来达到。特别是多级流水线处理的FFT结构使得基于FPGA器件的FFT处理器完成不同点数的FFT计算时可以通过增减模块级数很容易地实现。
二、组合数N=r1r2点混合基FFT原理
计算N点DFT：
式中k=0，1，…，N-1。
若N=r1r2的组合数，可将n（n＜N）表示为
式（2）的意义在于，计算组合数N=r1r2点DFT，等价于先求出r？2组r？1点的DFT，其结果经过对应旋转因子的相位旋转后，再计算r1组r2点的DFT。实际应用中，DFT往往用它的快速算法FFT实现，因而式（2）中的r1点DFT和r2点DFT都用r1点FFT和r2点FFT实现。
三、可扩展FFT处理器实现结构
根据式（2）的FFT算法原理设计FFT处理器的可扩展结构如图1所示。
采用流水线模块化级联结构，把FFT处理器划分成短点数FFT、级间混序RAM和相位旋转等功能模块，设计的各功能模块可以重复利用，通过复用或增减各功能模块可以灵活改变FFT处理器的计算规模，而且不增加设计量。在图1结构中，当Li＝1时，就演变成了基2 FFT；当Li＝2时，就演变成了基4 FFT；同理，当Li≠Lj时，就演变成了高组合数的混合基FFT。
1.短点数FFT阵列结构
－Tukey算法结构实现时，有大量的复数乘法实际上转化为加减运算，所以用阵列结构实现不但具有速度快的优点，而且所用器件资源也减少很多，通过对阵列结构短点数FFT进行时分复用，可以提高运算单元的使用效率。
2.相位旋转运算单元
实现短点数FFT级间相位旋转，采用ROM存储旋转因子与数据复乘的传统方法，不仅涉及乘法运算，而且会消耗大量存储器资源。
利用CORDIC算法实现组合数FFT级间数据的相位旋转，把乘法转化成加减法运算，适合FPGA的大规模集成。可以设计出统一结构的CORDIC处理器模块，重复利用于不同级间实现相位旋转，而且其控制逻辑非常简单。
（1）CORDIC算法原理
如果旋转角度θ可以分解成n个小角度φi之和，即：
公式：
（2）CORDIC处理器结构设计
本文提出了一种流水线CORDIC处理器结构的解决方案。实现式子（4）的迭代运算时采用补码移位和补码加减运算，可以减少大量求补运算，其迭代结构如图2所示。
前者在于左移补零的位数的不同，这样，只需要改变n0k0的放大倍数（改变左移低位补零的位数），就可以把同一方向向量功能模块级联到图1 FFT处理器的不同级间来计算CORDIC处理器的MSBi，这就大大地减小了重复设计，其迭代结构如图3所示。
3.RAM结构及其级间数据混序用流水线读/写RAM地址发生器的设计
设计的RAM，每个存储单元为32 bit，高16位为复数的实部，低16位为复数的虚部。输入输出数据接口用RAM设计为乒乓结构，用两块相同的RAM交替读出或交替写入数据，这样就放宽了对I/O操作速度的要求，使得外围威廉希尔官方网站
可以不必工作于FPGA系统时钟。
级与级之间数据混序用RAM设计为读/写RAM，对RAM同一存储单元用两个时钟完成一次读/写操作，即用流水线读/写同一块RAM来实现级与级之间的数据混序。此结构取代了用两块RAM完成数据混序的乒乓结构的传统方法，不涉及存储器之间的读写切换，控制逻辑非常简单，而且消耗的存储器资源节省一半，这是实现结构可灵活扩展的高速FFT处理器的关键和难点。可以通过理论推导，求得第i级FFT与第i-1级FFT级间混序用RAM的奇次读/写地址为
的基础上向左循环移位，位长为Li-Li-1位；同时，后者又表示在前者的基础上向左循环移位，位长为Li-Li-1位，从而形成地址的循环移位规律。把Li-1=Li和Li-1
硬件验证时采取的实验方法是，用相同的抽样频率fs等间隔地抽取不同频率单频正弦信号相同点数64点，即固定FFT的频率分辨率fr，利用设计的64点FFT处理器计算其幅度谱，观察其幅度谱中直流分量谱线和谐波分量谱线间隔大小的变化，把实验结果和理论分析结果进行对照，以确认FFT处理器工作的正常与否。
系统时钟工作在 40.861 MHz 时，抽样频率为 40.861/2=20.4305 MHz，抽样周期为1/20.4305 MH.9 ns，抽取64个点的时间是48.9×64＝3.13μs。因为每个采样数据间隔时间是48.9μs，所以用设计的流水线方式工作的64点FFT处理器计算其幅度谱的谱线间隔也为48.9 ns。当输入单频正弦信号的频率约为638.454 kHz时，其周期为1/638.454 kHz＝1.567μs。用20.4305 MHz频率抽样，3.13μs时间内刚好在正弦信号的2个周期内抽取64点，输入单频正弦信号的频率是频率分辨率319.227 kHz的2倍，直流分量为幅度谱的第1根谱线，一次谐波分量为幅度谱的第3根谱线，其理论计算结果波形如图5所示，实验测试结果波形及其的局部放大波形如图6和图7所示。
从示波器上可以看出，横坐标单元格间隔为1μs，FFT变换周期间隔约为3格，即约为3μs，抽取了信号波形的2个周期，64点FFT计算时间也约为3μs。
输入单频正弦信号的频率是频率分辨率319.227 kHz的2倍，直流分量为幅度谱的第1根谱线，一次谐波分量为幅度谱的第2根谱线。由于幅度谱的谱线间隔为48.9 ns，也就是说，直流分量和一次谐波分量间隔约为100 ns。从示波器上可以看出，横坐标单元格间隔为100 ns，直流分量和一次谐波分量间隔约为100 ns，和理论分析结果一致。
四、结论
本文以高组合数混合基DFT算法为基础，设计并用FPGA实现了变换点数可灵活扩展的流水线FFT处理器。输入/输出数据速率为20 MHz时，读/写RAM工作在40 MHz时钟，计算出1 024点FFT的运算时间约为52μs。本设计采用模块化设计结构，便于系统调试和实现，而且各设计模块可以重复利用，避免重复相同的设计，从而缩短芯片设计开发时间，更易于FFT处理器的结构扩展。整个FFT设计结构新颖，实现容易，具有一定实用价值。
一、引言
DFT（离散傅里叶变换）作为将信号从时域转换到频域的基本运算，在各种数字信号处理中起着核心作用，其快速算法FFT（快速傅里叶变换）在无线通信、语音识别、图像处理和频谱分析等领域有着广泛的应用。用大规模集成威廉希尔官方网站
FPGA（现场可编程门阵列）来实现FFT算法时，需要重点考虑的不再是算法运算量，而是算法的复杂性、规整性和模块化，因为算法的简单性和规整性将更适合大规模集成，更方便于版图设计，而算法的模块化更有利于FFT处理器的灵活扩展。组合数FFT算法和CORDIC（坐标旋转数字计算机）算法结合起来，在计算长点数、可扩展FFT时具有较大的优越性。而面向高速、大容量数据流的FFT的实时处理，可以通过VLSI（超大规模集成威廉希尔官方网站
）器件的并行处理或多级流水线处理等来达到。特别是多级流水线处理的FFT结构使得基于FPGA器件的FFT处理器完成不同点数的FFT计算时可以通过增减模块级数很容易地实现。
二、组合数N=r1r2点混合基FFT原理
计算N点DFT：
式中k=0，1，…，N-1。
若N=r1r2的组合数，可将n（n＜N）表示为
式（2）的意义在于，计算组合数N=r1r2点DFT，等价于先求出r？2组r？1点的DFT，其结果经过对应旋转因子的相位旋转后，再计算r1组r2点的DFT。实际应用中，DFT往往用它的快速算法FFT实现，因而式（2）中的r1点DFT和r2点DFT都用r1点FFT和r2点FFT实现。
三、可扩展FFT处理器实现结构
根据式（2）的FFT算法原理设计FFT处理器的可扩展结构如图1所示。
采用流水线模块化级联结构，把FFT处理器划分成短点数FFT、级间混序RAM和相位旋转等功能模块，设计的各功能模块可以重复利用，通过复用或增减各功能模块可以灵活改变FFT处理器的计算规模，而且不增加设计量。在图1结构中，当Li＝1时，就演变成了基2 FFT；当Li＝2时，就演变成了基4 FFT；同理，当Li≠Lj时，就演变成了高组合数的混合基FFT。
1.短点数FFT阵列结构
－Tukey算法结构实现时，有大量的复数乘法实际上转化为加减运算，所以用阵列结构实现不但具有速度快的优点，而且所用器件资源也减少很多，通过对阵列结构短点数FFT进行时分复用，可以提高运算单元的使用效率。
2.相位旋转运算单元
实现短点数FFT级间相位旋转，采用ROM存储旋转因子与数据复乘的传统方法，不仅涉及乘法运算，而且会消耗大量存储器资源。
利用CORDIC算法实现组合数FFT级间数据的相位旋转，把乘法转化成加减法运算，适合FPGA的大规模集成。可以设计出统一结构的CORDIC处理器模块，重复利用于不同级间实现相位旋转，而且其控制逻辑非常简单。
（1）CORDIC算法原理
如果旋转角度θ可以分解成n个小角度φi之和，即：
公式：
（2）CORDIC处理器结构设计
本文提出了一种流水线CORDIC处理器结构的解决方案。实现式子（4）的迭代运算时采用补码移位和补码加减运算，可以减少大量求补运算，其迭代结构如图2所示。
前者在于左移补零的位数的不同，这样，只需要改变n0k0的放大倍数（改变左移低位补零的位数），就可以把同一方向向量功能模块级联到图1 FFT处理器的不同级间来计算CORDIC处理器的MSBi，这就大大地减小了重复设计，其迭代结构如图3所示。
3.RAM结构及其级间数据混序用流水线读/写RAM地址发生器的设计
设计的RAM，每个存储单元为32 bit，高16位为复数的实部，低16位为复数的虚部。输入输出数据接口用RAM设计为乒乓结构，用两块相同的RAM交替读出或交替写入数据，这样就放宽了对I/O操作速度的要求，使得外围威廉希尔官方网站
可以不必工作于FPGA系统时钟。
级与级之间数据混序用RAM设计为读/写RAM，对RAM同一存储单元用两个时钟完成一次读/写操作，即用流水线读/写同一块RAM来实现级与级之间的数据混序。此结构取代了用两块RAM完成数据混序的乒乓结构的传统方法，不涉及存储器之间的读写切换，控制逻辑非常简单，而且消耗的存储器资源节省一半，这是实现结构可灵活扩展的高速FFT处理器的关键和难点。可以通过理论推导，求得第i级FFT与第i-1级FFT级间混序用RAM的奇次读/写地址为
的基础上向左循环移位，位长为Li-Li-1位；同时，后者又表示在前者的基础上向左循环移位，位长为Li-Li-1位，从而形成地址的循环移位规律。把Li-1=Li和Li-1
硬件验证时采取的实验方法是，用相同的抽样频率fs等间隔地抽取不同频率单频正弦信号相同点数64点，即固定FFT的频率分辨率fr，利用设计的64点FFT处理器计算其幅度谱，观察其幅度谱中直流分量谱线和谐波分量谱线间隔大小的变化，把实验结果和理论分析结果进行对照，以确认FFT处理器工作的正常与否。
系统时钟工作在 40.861 MHz 时，抽样频率为 40.861/2=20.4305 MHz，抽样周期为1/20.4305 MH.9 ns，抽取64个点的时间是48.9×64＝3.13μs。因为每个采样数据间隔时间是48.9μs，所以用设计的流水线方式工作的64点FFT处理器计算其幅度谱的谱线间隔也为48.9 ns。当输入单频正弦信号的频率约为638.454 kHz时，其周期为1/638.454 kHz＝1.567μs。用20.4305 MHz频率抽样，3.13μs时间内刚好在正弦信号的2个周期内抽取64点，输入单频正弦信号的频率是频率分辨率319.227 kHz的2倍，直流分量为幅度谱的第1根谱线，一次谐波分量为幅度谱的第3根谱线，其理论计算结果波形如图5所示，实验测试结果波形及其的局部放大波形如图6和图7所示。
从示波器上可以看出，横坐标单元格间隔为1μs，FFT变换周期间隔约为3格，即约为3μs，抽取了信号波形的2个周期，64点FFT计算时间也约为3μs。
输入单频正弦信号的频率是频率分辨率319.227 kHz的2倍，直流分量为幅度谱的第1根谱线，一次谐波分量为幅度谱的第2根谱线。由于幅度谱的谱线间隔为48.9 ns，也就是说，直流分量和一次谐波分量间隔约为100 ns。从示波器上可以看出，横坐标单元格间隔为100 ns，直流分量和一次谐波分量间隔约为100 ns，和理论分析结果一致。
四、结论
本文以高组合数混合基DFT算法为基础，设计并用FPGA实现了变换点数可灵活扩展的流水线FFT处理器。输入/输出数据速率为20 MHz时，读/写RAM工作在40 MHz时钟，计算出1 024点FFT的运算时间约为52μs。本设计采用模块化设计结构，便于系统调试和实现，而且各设计模块可以重复利用，避免重复相同的设计，从而缩短芯片设计开发时间，更易于FFT处理器的结构扩展。整个FFT设计结构新颖，实现容易，具有一定实用价值。
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