初识微分、积分威廉希尔官方网站 的本质以及电容的阴谋，不谈公式更易懂

很多朋友觉得PID是遥不可及，很神秘，很高大上的一种控制，对其控制原理也很模糊，只知晓概念性的层面，知其然不知其所以然，那么本期从另类视角来探究微分、积分威廉希尔官方网站 的本质，意在帮助理解PID的控制原理（PID：P表示比例控制；I表示积分控制；D表示微分控制）。

在认清微分、积分威廉希尔官方网站 之前，我们都知道电容的特性：电容的电流超前电压相位90°，很多教材都这么描述，让人很费解，其本质又是什么呢？

要彻底掌握微分、积分威廉希尔官方网站 或PID控制思路，首先得了解电容。

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电容就是装载电荷的容器，从微观角度看，当电荷流入容器时，随着时间的变化极间电场逐渐增大；以图1为例：

①充电开始时Uc=0V，压差△U=Ur=Ui，此刻容器内无电荷，也就无电场排斥流入的电荷；所以电流Ic最大，表现为容抗最小，近似短路；

②当Uc上升，压差△U开始减小，该过程形成电场，容器开始排斥流入的电荷；电流Ic逐渐减小，表现为容抗逐渐增大；

③当Uc=Ui，压差△U=Ur=0V，此刻容器内电场最强，以最大排斥力阻止流入的电荷；电流Ic=0，表现为容抗最大，近似开路。

图1：电容容器充电模型

当电荷流出容器时，随着时间的变化极间电场逐渐减小；该放电过程的电容可看成是一个内阻为0的电压源，以图2为例（移除电源并接地）：

①放电开始时Uc=Ui，此刻容器内充满电荷，因此电场最强，而电阻不变，则放电电流Ic最大（方向与充电相反），电阻两端的电压Ur=Uc，则Ur=Ui；

②当Uc下降，该过程电场减弱，放电电流Ic逐渐减小，Ur=Uc也逐渐减小；

③放电耗尽Uc=0V，此刻容器内无电荷，因此无电场，Ur=0V。

图2：电容容器放电模型

电容就好比水桶一样，流入的水流无论是大还是小，水位的变化一定是从最低位开始连续上升的；而电容内的电荷也是逐渐从0开始积累起来的，积累过程与自然常数e有关系，这里就不深入讨论了。

图3就是电容充放电的电压-电流曲线。

图3：电容充放电，电压-电流曲线

联系前面的分析，可总结为：

①电容电压不能突变，电流可突变（教材的定义是电容的电流与电压的变化率成正比）；

②充电过程中的电容可等效成一个可变电阻，放电过程中的电容可等效成一个电压源；

③电容电流反映的是单位时间内流动的电荷量，电容电压（或电场）反映的是电荷量的多少。通俗的理解就是流动的电荷才会导致电荷量多少的变化（与①相吻合）；用数学语言描述则是电容的电流超前电压相位90°；

④电容充放电速度与电容和电阻大小有关。

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对电容充分了解之后，首先我们先来认识最简单的分压威廉希尔官方网站 ，如图4根据欧姆定律VCC=2.5V，该纯阻性的分压威廉希尔官方网站 就是比例运算威廉希尔官方网站 的雏形。

图4,：分压威廉希尔官方网站

如图5，我们把R2换成104（0.1μF）电容，C1电容充满电后近似开路，VCC=5V；该威廉希尔官方网站 就是积分运算威廉希尔官方网站 的雏形。那么把5V改成信号源就构成了低通滤波威廉希尔官方网站 。

图5：积分威廉希尔官方网站

如图6为上图的充电波形，红色表示5V的波形，蓝色表示VCC的波形，因为电容充电时的容抗由小变大直至开路，所以分压VCC也由小变大直至为5V。而且电容充电需要一定的时间，导致VCC的波形要缓一些。（该5V是开关电源上电软启动时的输出波形）

图6：积分威廉希尔官方网站 波形

把图4图5组合就得到图7的威廉希尔官方网站 ，这就是我们经常使用的PI威廉希尔官方网站 （比例积分），在参考电压或分压威廉希尔官方网站 里很常见，加电容的目的就是增加延时性，稳定VCC的电压不受5V波动而波动，VCC=2.5V。

图7,：PI威廉希尔官方网站

把图5中电容和电阻的位置交换一下得到如图8的威廉希尔官方网站 ，C1电容充满电后近似开路，VCC=0V；该威廉希尔官方网站 就是微分运算威廉希尔官方网站 的雏形。那么把5V改成信号源就构成了高通滤波威廉希尔官方网站 。

图8：微分威廉希尔官方网站

如图9为上图的充电波形，红色表示5V的波形，蓝色表示VCC的波形，因为电容充电时的容抗由小变大直至开路，所以分压VCC由大变小直至为0V。也就是红色波形从0开始跳变一瞬间，VCC已经是最大值，所以微分有超前预判的性质（反映的是输入信号的变化率）。

图9：微分威廉希尔官方网站 波形

如图10为（反相）比例运算威廉希尔官方网站 。

图10：比例运算威廉希尔官方网站

如图11，Uo与Ui成线性关系。

图11：比例运算威廉希尔官方网站 波形

如图12、图13为微分运算威廉希尔官方网站 的充放电过程：

充电过程的电容C1可等效成一个可变电阻，C1开始充电时的容抗为0，电压不可突变则电压为0，运放-输入端得到的分压为正最大峰值，于是Uo为运放的负最大峰值，随着电容充满电，U0逐渐变为0。

图12：微分运算威廉希尔官方网站 -充电

放电过程的电容C1可等效成一个电压源，且电压不可突变，此时电流反向为最大值，R1电压瞬间反向也为最大值，运放-输入端得到的分压则为负最大峰值，于是Uo为运放的正最大峰值，随着电容放完电，U0逐渐变为0。

图13：微分运算威廉希尔官方网站 -放电

如图14为微分运算威廉希尔官方网站 的输入输出波形，联系前面的分析结果，则Uo反映的是Ui的变化率，这样就达到了预判超前的效果。

图14：微分运算威廉希尔官方网站 波形

如图15为微分运算仿真威廉希尔官方网站 ，为了防止运放出现饱和，必须限制输入电流，实际使用时需要在电容C1输入端串联一个小电阻R2。串联电阻后的威廉希尔官方网站 已经不是理想微分运算威廉希尔官方网站 了，但是只要输入信号周期大于2倍RC常数，可以近似为微分运算威廉希尔官方网站 。

图15：微分运算仿真威廉希尔官方网站

如图16为微分运算仿真威廉希尔官方网站 波形，其中IN-为运放-输入端的波形。

图16：微分运算仿真威廉希尔官方网站 波形

如图17、图18为积分运算威廉希尔官方网站 的充放电过程：

充电过程的电容C1可等效成一个可变电阻，C1开始充电时的容抗为0，电压不可突变则电压为0，运放-输入端得到的分压为0，于是Uo为0，随着电容充满电，运放-输入端得到的分压为正最大值，U0为运放的负最大峰值。

图15：积分运算威廉希尔官方网站 -充电

放电过程的电容C1可等效成一个电压源，且电压不可突变，运放-输入端得到的分压也不可突变，随着电容放完电，于是Uo由负最大峰值逐渐变为0。

图16：积分运算威廉希尔官方网站 -放电

如图17为积分运算威廉希尔官方网站 的输入输出波形，联系前面的分析结果，则Uo反映的是Ui的积累过程，这样就达到了延迟稳定的效果。

图17：积分运算威廉希尔官方网站 波形

如图18为积分运算仿真威廉希尔官方网站 ，为了防止运放出现饱和，实际使用时需要在电容C2两端并联一个电阻R3。并联电阻后的威廉希尔官方网站 已经不是理想积分运算威廉希尔官方网站 了，但是只要输入信号周期大于2倍RC常数，可以近似为积分运算威廉希尔官方网站 。

图18：积分运算仿真威廉希尔官方网站

如图19为积分运算仿真威廉希尔官方网站 波形，其中IN-为运放-输入端的波形。

图19：积分运算仿真威廉希尔官方网站 波形

要点：

①微分、积分运算威廉希尔官方网站 利用了电容充放电时其电压不可突变的特性达到调节输出的目的，对变化的输入信号有意义；

②微分D控制有超前预判的特性，积分I控制有延迟稳定的特性，在PID调节速度上，微分D控制＞比例P控制＞积分I控制。

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