三种情况产生的感应电势分析

许多同学问一个问题，电机绕组的感应电势可以用Blv来计算，可是绕组的导体是嵌放在槽内的，而槽内的磁场B很小，几乎为0，那么用Blv来计算时，将槽内这个很小的磁密代入其中，计算出线圈的感应电势岂不是也很小，几乎为0，这显然与实际情况不符啊！是不是放在槽内的导体就不能用Blv的观点来计算了？

其实这个问题我们在前面的瞎想文章——《电机绕组（七）》中已简单地做了一些分析和说明，但并没有从理论上进行详细的论述和推导，既然大家对这个问题很感兴趣，并且仍有许多疑问，那么本期就对这个问题进行一下详细分析。

1 法拉第电磁感应定律

在分析槽内线圈的感应电势之前，我们还是先复习一下法拉第电磁感应定律。法拉第电磁感应定律说的是，当匝链线圈的磁通φ发生变化时，线圈回路内就会产生感应电势e。

e=-dφ/dt=-(d/dt)∬【A】B•da (1)

式中：e的正方向与φ的正方向之间符合右手螺旋关系；A为积分区间，即线圈所包围的面积；da为线圈所包围面积上的面积微元；负号(-)表示感应电势的实际方向符合楞次定律。

如果线圈的匝数为N，且磁通都与每匝线圈匝链，则整个线圈的感应电势即为：

e=-N•dφ/dt (2)

需要说明的是，法拉第电磁感应感应定律给出了线圈的感应电势与匝链线圈的磁通变化率之间的关系，说明感应电势的大小只与磁通变化有关，与何种原因引起的磁通变化无关。根据法拉第电磁感应定律，无论什么原因导致磁通φ发生变化，只要匝链线圈的磁通发生变化，就必然会在线圈中产生感应电势。而匝链线圈的磁通发生变化不外乎以下三种情况：一是线圈静止不动，磁场B随时间变化；二是磁场恒定(不随时间变化)，但磁场与线圈之间发生相对运动，即人们常说的线圈做“切割磁力线”运动；三是上述两种情况同时存在，既有切割磁力线运动，磁场也在随时间变化。下面分别就这三种情况所产生的感应电势作一详细分析。

2 三种情况产生的感应电势

2.1 线圈静止而磁场随时间变化时产生的感应电势

将一个单匝线圈静止放置于一个变化的磁场B中，即磁场B随时间变化，是时间的函数，当然B还可能是空间位置的函数，也就是说，在不同的空间位置处磁场大小和方向可能不同，且随时间变化，即B=f(x,y,z,t)，那么这个变化的磁场就会在单匝线圈中产生感应电势。由此产生的感应电势被称为变压器电势，因为变压器就是利用此原理工作的。根据法拉第电磁感应定律，这个变压器电势为：

eT=-dφ/dt |v=0=-(d/dt)∬【A】B•da  (3)

这里我们先埋下个小伏笔，线圈静止而磁场发生变化的原因可能是多种多样的，例如：可能是产生磁场的励磁磁势发生变化，从而导致磁场B发生变化；也可能是磁势不变，而周围的导磁介质发生了变化，从而导致磁场B发生变化。后面研究槽内线圈的感应电势时就会遇到这种情况。

2.2 磁场恒定而线圈与磁场有相对运动时产生的感应电势

将一个线圈置于一个恒定磁场B中，所谓恒定磁场是指该磁场B不随时间变化，但可能在空间分布上不一定是匀强磁场，即磁密B只是空间位置的函数，并不随时间变化。当线圈相对于磁场以速度v运动时，匝链线圈的磁通同样会发生变化，从而产生感应电势。由此产生的感应电势被称为运动电势，这就是传说中的“导体切割磁力线”产生的感应电势，在旋转电机中，这种感应电势也被称为旋转电势，用eM表示。

eM=∮【L】(v×B)•dl (4)

式中：L为积分区间，即线圈的周长；dl为线圈回路的线段微元(矢量)；v为运动速度矢量；B为磁密矢量。一定要注意⑷式中的各物理量都是矢量，式中的运算符号：“×”代表叉乘；“•”代表点乘。也就是说任意一段线圈微元dl切割磁力线产生的感应电势等于该微元的运动速度矢量与该处磁密矢量的叉乘然后再与该微元矢量点乘，整个线圈回路的感应电势等于每一小段线圈微元上的感应电势在整个线圈回路周长上的积分。根据矢量运算的换算关系，(v×B)•dl =-B•(v×dl)，则⑷式可写成：

eM=-∮【L】B•(v×dl) (5)

由于速度v=ds/dt，其中ds为在时间dt内线段dl在速度方向上的位移，所以v×dl=(ds/dt)×dl=dav/dt，其中dav表示在时间dt内dl所扫过的面积，如图1所示。

将上述v×dl=dav/dt代入⑸式得运动电势：

eM=-∮【L】B•dav/dt=-dφv/dt (6)

式⑹表明，磁场恒定、线圈回路运动时，所产生的运动电势eM就是线圈L所扫过的整个面积内的微分磁通量dφv随时间变化率的负值，其中：dφv=∮【L】B•dav。

需要说明的是，上述推导是基于任意形状的单匝线圈置于任意(大小、方向分布)恒定的磁场中，以任意(大小、方向)的速度运动而产生的运动电势，因此上述各式和推导过程不失一般性，同学们可能看到这些公式和推导过程时有点懵圈，不要紧，其实电机中的具体情况并没有那么复杂，只是上述普遍公式的一种特例。对于单根长直导线L，置于匀强磁场B中，以速度v做切割磁力线运动，在B、v、L三者互相垂直的情况下，导线在dt时间内扫过的面积为L•ds，其中ds为导线在dt时间内运动的位移，扫过该面积内的磁通微元为dφ=B•L•ds，该磁通除以时间dt，即为导体切割磁力线产生的运动电势，即：

eM=dφ/dt=B•L•ds/dt=B•L•v (7)

这就是中学物理里说的导体切割磁力线产生的感应电动势大小等于BLv，方向按右手定则判定。

2.3 既有磁场变化又有相对运动时产生的感应电势

既有磁场变化又有相对运动是一种最为普遍的情况。如图2所示，为一个单匝整距线圈处于一个正弦分布的脉振磁场中，且线圈置于光滑的转子表面，随转子以机械角速度Ω作匀速旋转为例，接下来我们就以此为例，计算一下线圈中的感应电势。

设气隙磁场为一正弦分布的脉振磁场，B=Bm•cosωt•sinθs，θs为定子的电角度，先求匝链线圈的磁通：

φ=∬【A】B•da=∫【θ,θ+π】Bm•cosωt•sinθs•l•(R/p)•dθs=Bm•cosωt•l•(R/p)•∫【θ,θ+π】sinθs•dθs (8)

式中：【A】为积分区间，即线圈在气隙表面跨越的面积；R为气隙的平均半径；l为导体有效长度；p为极对数；积分下限为θ，上限为θ+π。由于线圈在运动，所以θ=pΩt=ωrt。于是按⑻式计算得：

φ=Bm•cosωt•l•(τ/π)•[cosθs]θθ+π=[Bm(2/π)τl]•cosωt•cosθ=φm•cosωt•cosθ (9)

式中：τ为极距；φm为气隙磁通幅值，φm=(2/π)Bm•τ•l。

线圈中的感应电势为：

e=-dφ/dt=-(d/dt)•[φm•cosωt•cospΩt]

=-[d(φm•cosωt)/dt]•cospΩt-[d(φm•cospΩt)/dt]•cosωt=eT+eM (10)

式中：eT和eM分别为变压器电势和运动电势。

eT=-[d(φm•cosωt)/dt]•cospΩt=ωφm•sinωt•cospΩt (11)

eM=-[d(φm•cospΩt)/dt]•cosωt=pΩφm•sinpΩt•cosωt (12)

以上各式可知，变压器电势eT是由气隙磁场随时间交变引起，其大小取决于磁场B的交变频率ω和磁通幅值φm；运动电势eM则是由线圈运动引起，其大小取决于旋转角速度Ω和磁通幅值φm(或者说2Bm•l•v)。

3 应用法拉第定律时需要注意的事项

应用法拉第定律时，有几点需要注意：

①感应电动势中，运动电动势eM和变圧由动垫eT的划分，与观测的坐标系有关，坐标系的速度不同，观测到的eM和eT值就不同，但是总的感应电势值是不变的，与坐标系的速度无关。例如在计算同步电机定子(电枢)绕组的空载感应电动势时，如果把坐标系放在旋转的主极上，由于主极磁场 Bf 为恒定不变，故定子导体内的感应电动势，可以认为是导体对主极反向旋转所产生的运动电动势 eM，此时 eM可用 Blv 法计算；但是，如果把坐标系放在定子上，则定子绕组内的感应电动势，就应看成是绕组内的磁通量随时间而变化所产生的变压器电势 eT。不难得知，两者算出的值是相同的。

②在计算运动电势时，周围的磁介质应为均匀或者保持不变。如果磁介质有所变化，则由于磁介质的变化将引起磁场发生变化，从而产生变压器电动势。这就是我们前面所说埋下的伏笔，在接下来研究电枢开槽、线圈置于槽内时，线圈的电动势时将会遇到这种情况。

③在计算电势时，常常要涉及磁场 B 的分布和变化。为形象化起见，工程上常常用磁力线来描述磁场的分布。对于大多数问题，这样做有助于理解，并能得到正确的结果。但是磁力线不是物理的实体，而仅是一种数学上的描述手段。因此决不能把磁力线“物质化”，把它当作物质的“线”或者“橡皮筋”等，当主磁极发生平移或旋转运动时，误认为磁力线跟着磁极一起移动，从而对某些问题作出错误的判断和结论，这点应当注意。

4 槽内线圈的感应电势

在恶补完以上基础知识后，接下来我们就言归正传，正式讲解电枢开槽，线圈置于槽内时，匝链线圈的磁通变化情况和产生的感应电势。

以直流电机为例，设定子主机磁场恒定，电枢以转速n旋转。

4.1 线圈置于光滑电枢表面时的感应电势

如图3所示，一个单匝整距线圈置于光滑的电枢表面，线圈由导体1和导体2构成，它们分别位于主极的N极和S极下，该处磁密大小为B。

  设电枢旋转时，导体1和导体2以线速度v在主极磁场内作切割磁力线运动，按照“Blv观点”，两根导体的运动电势e1和e2分别为：

e1=Blv；e2=-Blv (13)

其中 l为导体有效长度。整个线圈的感应电势为：

e=e1-e2=2Blv (14)

从另一个角度来看，按照“dφ/dt观点”，在时间dt内，导体移过的距离为dx，在磁场内扫过的面积为l•dx，线圈所包围的N极下的磁通量φN将逐步减少，S极下的磁通量φS将逐步增加，匝链整个线圈的磁通量变化为：

dφN=-Bldx；dφS=-Bldx (15)

于是线圈的感应电势为：

e=-(dφN+dφS)/dt=2Bldx/dt=2Blv (16)

由(14)、(16)式可见，在导体置于光滑电枢表面时，无论用“Blv观点”还是用“dφ/dt观点”计算，所得到的结果是一致的。

4.2 电枢表面开槽、线圈置于槽内时的感应电势

如图4所示为电枢表面开槽、一个单匝整距线圈置于槽内的情况，开槽后由于槽口处的气隙增大，磁阻增大，故该处的气隙磁密将显著减弱，从B下降为b，使气隙磁密的分布在该处有一明显的凹坑。现在的问题是，若转子和槽内线圈仍以线速度v运动，线圈的感应电势是否也会减小？

我们先用“dφ/dt观点”来计算。设一开始两导体分别处于N极和S极的正下方，如图4a)所示的实线槽位置，线圈所匝链的N极和S极下的磁通量分别为图4a)中的阴影面积φN1和φS1，匝链线圈的总磁通为：

φ1=φN1-φS1 (17)

由于线圈和铁心一起运动，经过时间dt后，线圈及其所在的槽均向右移动了dx距离，移至图4a)所示的虚线位置，则此时线圈所匝链的N极和S极下的磁通量分别分别变成了图4b)中的阴影面积φN2和φS2，匝链线圈的总磁通变为：

φ2=φN2-φS2 (18)

也就是说，经过时间dt后，匝链线圈的磁通的变化量为：

dφ=φ2-φ1=(φN2-φS2)-(φN1-φS1)=(φN2-φN1)-(φS2-φS1)=dφN-dφS (19)

式中：

dφN=φN2-φN1=-Bldx (20)

dφS=φS2-φS1=Bldx (21)

分别表示经过时间dt后，线圈匝链N极下的磁通变化量和S极下的磁通变化量，分别对比图4a)和图4b)中N极下和S极下的两块阴影面积的变化，不难看出，N极下匝链的磁通从φN1变化到φN2，阴影面积减小了，两块阴影面积的减小量与凹坑处的磁密b无关，只与非凹坑处的磁密B有关；同理S极下的磁通变化也是只与与非凹坑处的磁密B有关，如图4c)所示。这个结论从(20)式和(21)式中也可看出。将(20)、(21)两式代入(19)式得：

dφ=-2Bldx (22)

线圈中的感应电势为：

e=-dφ/dt=2Bldx/dt=2Blv (23)

由(23)式可见，开槽后，槽内线圈的感应电势与开槽前(光滑电枢表面时)是相同的，也就是说，电枢开槽与否并不影响线圈感应电势的大小，开槽后仍可用“Blv”计算线圈感应电势，其中的磁密必须是开槽前的气隙磁密B，而不是槽内的磁密b！以上是用普遍适用的法拉第电磁感应定律推导出的槽内线圈感应的结论，接下来我们进一步分析这个结论的原因。

电枢开槽后，线圈的感应电势中实际上包含了运动电势和变压器电势两个分量，即：

e=-dφ/dt=-[əφ/ət+(əφ/əx)•dx/dt]=eT+eM (24)

其中： eT=-əφ/ət，为变压器电势；eM=-(əφ/əx)•dx/dt，为运动电势。

先说运动电势。运动电势eM是指铁心(槽)不动，仅有线圈在槽内做切割磁力线运动时产生的电势。设在时间dt内线圈在槽内移动了dx距离，如图5所示。

把φN和φS各分成φN′、φN″和φS′、φS″两部分，则：

əφ/əx=(ə/əx)[(φN′+φN″)-(φS′+φS″)] (25)

线圈在槽内发生位移，只有φN′和φS′发生变化，φN″和φS″并不变化(即dφN″=dφS″=0)，于是：

əφ/əx=əφN′/əx-əφS′/əx (26)

而dφN′=-bldx；dφS′=bldx，故运动电势eM即为：

eM=-(əφ/əx)•dx/dt=2bldx/dt=2blv  (27)

式(27)表明，运动电势分量等于采用“BLv观点”计算的运动电势，但此时的磁密应该用槽内磁密b来计算，这样计算出的感应电势的确是显著减小了。但这只是线圈感应电势中的运动电势分量，全部感应电势中还有另一个分量——变压器电势。

再说变压器电势。这里的变压器电势则是指：线圈不动、单纯电枢铁心(槽)移动，由于线圈周围的磁介质分布发生变化，使得匝链线圈的磁通量发生变化，从而引起的感应电势。铁心移动时，磁场的凹坑将随槽的移动而移动，如图6所示。

此时：

əφ/ət=ə (φN-φS)/ət (28)

其中：

dφN=-(B-b)ldx (29)

dφS=(B-b)ldx (30)

因此，变压器电势：

eT=-əφ/ət=2(B-b)lv (31)

线圈内总的感应电势为：

e=eT+eM=2(B-b)lv+2blv =2Blv (32)

由(27)、(31)和(32)式可知，开槽后虽然运动电势2blv是显著减小了，但减小的部分却用变压器电势2(B-b)lv又找补回来了，即开槽后线圈总的感应电势与电枢光滑时是相同的，在计算开槽后槽内线圈的感应电势时，同样可以用“Blv观点”来计算，其中的磁密还用不开槽时的气隙磁密值B代入。

审核编辑：汤梓红