详解低通滤波器的设计

1.两种滤波器都是数字滤波器。根据冲激响应的不同，将数字滤波器分为有限冲激响应（FIR）滤波器和无限冲激响应（IIR）滤波器。对于FIR滤波器，冲激响应在有限时间内衰减为零，其输出仅取决于当前和过去的输入信号值。对于IIR滤波器，冲激响应理论上应会无限持续，其输出不仅取决于当前和过去的输入信号值，也取决于过去的信号输出值。

2.FIR：有限脉冲响应滤波器。有限说明其脉冲响应是有限的。与IIR相比，它具有线性相位、容易设计的优点。这也就说明，IIR滤波器具有相位不线性，不容易设计的缺点。而另一方面，IIR却拥有FIR所不具有的缺点，那就是设计同样参数的滤波器，FIR比IIR需要更多的参数。这也就说明，要增加DSP的计算量。DSP需要更多的计算时间，对DSP的实时性有影响。

以下都是低通滤波器的设计。

FIR的设计：

FIR滤波器的设计比较简单，就是要设计一个数字滤波器去逼近一个理想的低通滤波器。通常这个理想的低通滤波器在频域上是一个矩形窗。根据傅里叶变换我们可以知道，此函数在时域上是一个采样函数。通常此函数的表达式为：

sa（n）＝sin（n∩）/n∏，但是这个采样序列是无限的，计算机是无法对它进行计算的。故我们需要对此采样函数进行截断处理。也就是加一个窗函数。就是传说中的加窗。也就是把这个时域采样序列去乘一个窗函数，就把这个无限的时域采样序列截成了有限个序列值。但是加窗后对此采样序列的频域也产生了影响：此时的频域便不在是一个理想的矩形窗，而是成了一个有过渡带，阻带有波动的低通滤波器。通常根据所加的窗函数的不同，对采样信号加窗后，在频域所得的低通滤波器的阻带衰减也不同。通常我们就是根据此阻带衰减去选择一个合适的窗函数。如矩形窗、汉宁窗、汉明窗、BLACKMAN窗、凯撒窗等。选择一个具体的窗函数 之后，根据所设计滤波器的参数来计算所需的阶数、此窗函数的表达式。然后用这个窗函数去和采样序列相乘，就可以得到实际滤波器的脉冲响应。

IIR的设计（双线性变换法）：

IIR的设计理念是这样的：根据所要设计滤波器的参数去确定一个模拟滤波器的传输函数，然后再根据这个传输函数，通过双线性变换、或脉冲响应不变法来进行数字滤波器的设计。它的设计比较复杂，复杂在于它的模拟滤波器传输函数H（s）的确定。这一点我们可以让软件来实现。然后，我们说一下它的具体实现步骤：首先你要先确定你需要一个什么样的滤波器，巴特沃斯型，切比雪夫型，还是其它什么型的滤波器。当你选定一个型号后，你就可以根据设计参数和这个滤波器的计算公式来确定其阶数、传输函数的表达式。通常这个过程中还存在预扭曲的问题（这只是双线性变换法所需要注意的问题，脉冲响应不变法不存在这种问题）。确定H（S）后，就可以通过双线性变换得到其数字域的差分方程。

3.对于IIR和FIR的比较，有些书上有论述。我引用陈怀琛的“数字信号处理教程－－MATLAB释义与实现”：

从性能上来说，IIR滤波器传递函数包括零点和极点两组可调因素，对极点的惟一限制是在单位圆内。因此可用较低的阶数获得高的选择性，所用的存储单元少，计算量小，效率高。但是这个高效率是以相位的非线性为代价的。选择性越好，则相位非线性越严重。FIR滤波器传递函数的极点固定在原点，是不能动的，它只能靠改变零点位置来改变它的性能。所以要达到高的选择性，必须用较高的阶数；对于同样的滤波器设计指标，FIR滤波器所要求的阶数可能比IIR滤波器高5-10倍，结果，成本较高，信号延时也较大；如果按线性相位要求来说，则IIR滤波器就必须加全通网络进行相位校正，同样要大大增加滤波器的阶数和复杂性。而FIR滤波器却可以得到严格的线性相位。

从结构上看，IIR滤波器必须采用递归结构来配置极点，并保证极点位置在单位圆内。由于有限字长效应，运算过程中将对系数进行舍入处理，引起极点的偏移。这种情况有时会造成稳定性问题，甚至产生寄生振荡。相反，FIR滤波器只要采用非递归结构，不论在理论上还是在实际的有限精度运算中都不存在稳定性问题，因此造成的频率特性误差也较小。此外FIR滤波器可以采用快速傅里叶变换算法，在相同阶数的条件下，运算速度可以快得多。

另外，也应看到，IIR滤波器虽然设计简单，但主要是用于设计具有分段常数特性的滤波器，如低通、高通、带通及带阻等，往往脱离不了模拟滤波器的格局。而FIR滤波器则要灵活得多，尤其是他易于适应某些特殊应用，如构成数字微分器或希尔波特变换器等，因而有更大的适应性和广阔的应用领域。

从上面的简单比较可以看到IIR与FIR滤波器各有所长，所以在实际应用时应该从多方面考虑来加以选择。从使用要求上来看，在对相位要求不敏感的场合，如语言通信等，选用IIR较为合适，这样可以充分发挥其经济高效的特点；对于图像信号处理，数据传输等以波形携带信息的系统，则对线性相位要求较高。如果有条件，采用FIR滤波器较好。当然，在实际应用中可能还要考虑更多方面的因素。

不论IIR和FIR，阶数越高，信号延迟越大；同时在IIR滤波器中，阶数越高，系数的精度要求越高，否则很容易造成有限字长的误差使极点移到单位园外。因此在阶数选择上是综合考虑的。

IIR滤波器（切比雪夫滤波）各滤波器比较（IIR和FIR，数字和模拟） 第19，20，21章内容，主要讲IIR滤波器和滤波器的比较

IIR滤波不使用卷积运算，而是用递归(recursive)运算，因此执行速度很快，但在性能上不一定比FIR滤波好。IIR的冲击响应由衰减性指数信号构成。

IIR输入输出的递推关系式为：

IIR递归系数和其频率响应之间的关系可以通过Z变换来转换，Z变换在此不涉及。

通过取不同的递归系数（下图中的a和b），就可以实现不同的滤波：

当然这是最简单的应用，递归系数的取法有一定的讲究和公式，这里略了。

FIR可以做到是线性相位的，即冲击响应是左右对称的，而IIR通常是非线性相位的。这是因为FIR在设计的时候就确定了其时域波形和频响，而IIR在设计中确定的是递归的系数，并不能决定其波形是什么样子的。

为了使IIR实现线性相位，可以进行双向运算，如下图所示：

切比雪夫滤波

切比雪夫(Chebyshev)滤波是应用在频域上分频的，性能上当然不能和sinc窗函数滤波相比，但是它速度很快。

The Chebyshev response is a mathematical strategy for achieving a faster roll-off by allowing ripple in the frequency response. As the ripple increases (bad), the roll-off becomes sharper (good).

对于极点的理解：

极点越多，性能越好。

通过查表可以确定滤波器的系数。

各种滤波器比较

1.模拟vs数字

如果信号需要滤波，是在模拟阶段滤波呢？还是数字化之后滤波？

下图做了比较，可以看到数字滤波有着模拟滤波难以达到的性能，但是速度慢，而且模拟滤波的幅度以及频率的动态范围更大。

本例中模拟滤波的实现：

2.sinc窗函数vs切比雪夫

下图做了比较

sinc窗函数是用卷积来运算，而切比雪夫是用递归方程。当然卷积可以用fft卷积来做，即先DFT然后频域四则运算再DFT逆变换，这能提高速度，但是还是没有递归方程快。另一方面sinc窗函数的滤波性能可以做的很好。

3.滑动平均vs单极点