根轨迹的一般概念

1．所谓标准二阶系统:

⑴. 系统方块图：如图4-1所示。

⑵.开环传递函数：
⑶．闭环传递函数:

⑷．特征方程：

(5). 特征根：

２．以之根迹:

(1).时:为两相异实根。
(2).时:为两相等实根。
⑶．时:为一对共轭复根。其实部始终为。虚部为。这意味着这些复根都集中在根平面上离虚轴处的垂直线上。

⑷．据上分析可画出,如图4-2所示,标准二阶系统之根迹（粗线）。

图中：
× ……表示开环极点(0,-p)。
……表示开环零点(本例无)。
……表示闭环极点(sb)。
→……表示K的增长方向。
有了系统的根规迹图，闭环极点在根平面上的分布就一目了然了。系统的性能也就有数了。

4.1.2 讨论：

⒈ 此二阶系统有两条根迹,分别出发自开环极点0及-p。

⒉ 在0≤K＜p2/4即K增加时,根迹向(-p/2,j0)点移动,位于负实轴上。对应于系统过阻尼运动，即两相异负实根。

⒊ 当K=p2/4时为两相等负实根。对应于系统临界阻尼运动。

⒋ 当K＞p2/4时，为一对共轭复根。对应于系统欠阻尼运动，处于衰减振荡。K越大，ωd越高。但由于σd=p/2=Constat，所以ts变化不大。对应于 =p2/2,阻尼系数ξ=0.707, ωn=20.5P/2。

⒌ 由此根迹可看出系统的性能，随K的变化而变化。

4.1.3 结语：

⒈ 根迹，是指系统特征方程D(s)=0的根sb (闭环极点)，随系统参数的变化而变化的过程,在根平面上所形成的轨迹。从根迹图，可以看出系统参量的变化,对系统闭环极点在根平面上分布的影响。以及它们与系统性能的关系。

⒉ 理论上，随便变动某参数，都可得到相应的根迹。但最常用的是变化开环增益k，即K。其相应的根迹谓常规根迹。

⒊ 上述二阶系统的根迹，通过对D(s)=0求解sb ,而作出的。但对高阶系统的求解，是很困难的。实际上，常根据根迹的一些数学性质，用图解的办法，能较快地、大致地画出满足一定要求的根迹。现在,由于计算机的高度发展,有相应的软件,能很方便地、较精确地画出系统的根迹。Matlab就是一个强有力的工具。