计算机Fortran编程实现偏微分方程拉普拉斯变换
（内容附图一致，符合国际标准）
2.4 本章节 拉普拉斯变换 Pg.33
表2.5 重要的拉普拉斯变换对子
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f(t) F(s)
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阶跃函数，u（t） 1/s
... ...
脉冲函数， ？d（t） 1
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为了演示拉普拉斯变换的用途以及在系统分析中包含的步骤， 再次思考弹簧-质量-阻尼系统如方程（2.1）所描述，即
。。。？Mdyt（二次微分方程）.?。。。 （2.18）
我们希望获得相应，y，作为时间的一个函数。 拉普拉斯变换为方程式（2.18）
。。。？（拉普拉斯变换方程式）.?。。。 （2.19）
当 。。。？（微分条件）？。。。
我们有 。。。？（拉普拉斯方程式）.?。。。 （2.20）
求解？Y（s）， 我们得到
。。。？Y（s）=（拉普拉斯函数算式）？。。。 （2.21）
分子多项式q（s）， 当设为零时， 称为特征方程式，由于这个方程式的根确定了时间函数的特征。
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2.2 拉普拉斯变换基础 Pg.65
。。。...使用部分分数扩展， 我们得到
。。。？函数算式 f123 e t？。。。
并且（2.73）得到
。。。？f123， t U T
在下述两个表格我们列出拉普拉斯变换的不同特性和例子。所有的变换都是单边性的。 可是它们可以可以解释为双边的，如果我们假设所有的时间函数是具有因果关系的。在表2.1（卷积定理）的最后一个关系式在第四章中得以证明。
表2.1 拉普拉斯变换的特性
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。。。？F(s)=？。。。
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。。。？f（t）=F（s）？。。。
...
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章2 拉普拉斯变换 Pg. 66
表2.2 拉普拉斯变换示例
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f（t） F（s）
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1,0 t s e r co***t sinbt
.......
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2.3
威廉希尔官方网站
和微分方程
在这一节我们使用拉普拉斯变换分析不同的简单威廉希尔官方网站
，并以常系数解答线性微分方程。 在这次讨论的过程中我们介绍了几个概念在系统理论中基本重要：线性， 叠加，脉冲响应，频率响应，拉普拉斯阻尼，和系统函数。在后续内容中概念会更加系统的拓展。
我们假设在这里上下所有的方程式保存为t》0， 并且我们...。。。
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章9. 静态和类静态场 Pg. 344
。。。...其告诉我们
半导体掺杂质越重，消耗层的的宽度越小。 这一特性用于通道二极管以达到层的宽度在次数10**-6厘米（cm），通过重的掺杂于普通的p-n节比较的次数10**-4cm。
我们刚刚演示了泊松方程应用的例子，包含解答一个已知电荷分布的势能分布。 泊松方程式对解答问题更加有用，其中电荷分布是要确定的量，已知函数取决于电荷密度对势能。可是我们将不再进一步研讨这一课题。
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9.3 拉普拉斯方程
在前一章节我们推到出了泊松方程
。。。？V**2V=-p/e?。。。
如果在这一区域的电荷密度是零， 那么泊松方程式减少为
。。。？V**2V=0.？。。。 （9.31）
这个方程式已知为“拉普拉斯方程.” 它管理了一个无电荷区的势能的行为。在直角坐标中， 已知为
。。。？（V，xyz二级三变量齐次偏微分方程=0） （9.32）
在稳态电流的条件下，势能还满足拉普拉斯方程。对于稳态电流条件，？dp/dt=0并且对于已知的时间变化的情况连续方程式为
。。。？（时间t的偏微分方程=0）。。。？
推到至
。。。？（方程式=0）？。。。 （9.33）
由？bE=-bV—V替换？Jc， 这里？b是导体的电导率，并假设？b为常数， 我们得到
。。。？（算式=0）？。。。
或者 。。。？（算式=0）？。。。
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章节9.3 拉普拉斯方程 Pg. 345
问题应用拉普拉斯方程包含有求势能分布在两个导体之间， 已知导体表面的电荷分布或者导体的势能，或者两者的组合。步骤包含解答拉普拉斯方程式在导体表面的边界条件之下。导体之间的电场强度那么由？E=-V-V找到， 从此导体的电流密度通过使用？Jc=bE获得， 如果介质是一个导体。 我们将通过一个例子的方式演示包含一维度的？V的变化。
例9.3. 让我们思考两块全导电板无限，平面，平行，占据平面？x=0和？x=d并相应保持势能？V=0和？V=V0，如图9.6显示横截面图，并且找到板件区域的拉普拉斯方程的解答。 考虑的议题是两块理想的平行板尺寸非常大与它们之间的间隔相比。
？x=d,V=V0
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。。。？（示意图）？。。。等势线
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？x=0,V=0
图9.6. 演示了一维度的拉普拉斯方程式的解答。
势能仅为？x的一个函数，并且为此（9.32）化简致
。。。？（二次偏微分方程式）？。。。
积分两次这个方程式， 我们得到
。。。？V（x）=Ax+B？。。。
这里？A和？B是积分常数。为了确定？A和？B的值， 我们使用？V的边界条件，即，
。。。？V=0，v0,对于X=0，d？。。。
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章节 静态和类静态场 Pg.346
给我们
。。。？A B V0 d Ad 或者=（算式）？。。。
所以势能要求的解答给出为
。。。？V=V0/dx？ 对于 ?0
它告诉我们等势面是平行于导体的平面， 如图9.6所示。
再进一步， 我们得到
。。。？E=（偏微分方程式） 对于0
这个场是均匀的从较高的势能板指向较低的势能板， 如图9.6所示。 在两块导电板上的表面电荷密度给出为
。。。？算式1,2？。。。
在每块板上每单位面积表面电荷的幅度是？Q=|？ps|（1）=eV0/d， 和板的每单位面积的电容，即？Q至？V0的比值等于？e/d.
若板之间的介质是一种导体， 那么导体的电流密度给出为
。。。？Jc=？bE=-bV0/dix？。。。
从较高势能板到低的板每单位面积来的导通电流是？Ic=|Jc|（1）=?bV0/d，和导通率板每单位面积是？Ic至？V0的比值，是等于？b/d.
我们刚刚演示了拉普拉是方程式的解答， 经由思考一个例子仅包含一维中？V的变化。 在进入两维的拉普拉斯方程式解答之前， 按顺序简单地讨论了拉普拉斯方程式可应用性，以确定场图和传输线参数。 为了这样做，我们回顾
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章节9.3 拉普拉斯方程式 Pg.347
到传输线具有特征场完全与它的轴横向。所以在任何给出的横向平面，即横截面平面，？Fl=0（全积分）和？E拥有相同的空间特性在横向尺度如一个静电场的那些，虽然它是时变的。所以通过解答横截面中的拉普拉斯方程，受线导体的边界条件，我们可以得到获得场图含有等势“线”和电场线。 等势线到处都与电场线正交，与电磁线相同。相反地，在章节6.3描述的图形场绘图技巧同样可应用于解答拉普拉斯方程式，如果我们认为磁场线相当于等势线。例9.3的结果与章节6.2里平行板传输线的情况比较为本次讨论做了一个好例子。回到解答拉普拉斯方程式，我们现在思考两维度的解答， 即？x和？y。势能独立于z，则满足方程式
。。。？（二次两维度偏微分方程）？。。。 （9.34）
方程式（9.34）是一个两维度的偏微分方程式。如我们已经在章节4.4讨论的，解答它的方法技巧是“变量分离”技巧。它包含假设势能的解答是两个函数的乘积，它的一个仅为？x的函数，而另一个仅为？y的函数。标记这些函数为？X和？Y，对应地， 我们列出
。。。？V（x，y）=X（x）Y（y）？。。。 （9.35）
替代这个假设的解答如微分方程， 我们得到
。。。？YX（xy二次微分方程）？。。。
两边除以XY并重新排列， 我们得到
。。。？XYxy（二次微分方程）？。。。 （9.36）
（9.36）的左边仅仅为？x的一个函数； 右边仅仅为y的一个函数。 所以（9.36）表达仅x的一个函数等于仅y的一个函数。 不同于一个常数的仅x的一个函数不能等同于不同于相同常数对于所有的？x和？y的仅y的一个函数。例如，
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章节9 静态和类静态场 Pg.348
?2x是等于？4y对于那些x和y的值的对子，其x=2y。由于我们寻找一个好的解答对于所有的？x和y， 满足（9.36）的唯一解答是对其每边的（9.36）等于一个常数。标记这个常数为？a**2，我们有
。。。？（算式）？。。。（9.37a）
和 （9.37b）
....所以此法称为变量分离技巧。
。。。？（算式）？。。。 （9.38a）
.... (9.38b)
方程式(9.39)是一个？x和？y两维的拉普拉斯方程通解。...
两个例子， 例9.4. ....我们希望寻找哦槽中的势能分布。... 图9.7。....
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章节9.3 拉普拉斯方程 Pg. 349
。。。？（槽型示意图）？。。。
图9.7. 矩形槽横截面视图，...
....... 边界条件是
。。。？V=0， 对于y=0,0（条件列式1234）？。。。（9.40a,b,c和d）
应用（9.40a,c）
.....
.....
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章节9 静态和类静态场 Pg.350
所以？V的解答简约至
。。。？（算式）？。。。 （9.41）
...... 应用（9.40b），我们得到
。。。？（算式）？。。。
.....
。。。？（算式组）？。。。
。。。？（方程式）？。。。 （9.42）
最有应用（9.40d）， 得
。。。？（方程式）？。。。 （9.43）
....... 得？V的要求的解答为
。。。？V（x，y）=（算式） （9.44）
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章节9.3 拉普拉斯方程式 Pg.351
现在可以计算槽内任何点的势能。 。。。？0.2993V0
例9.5 。。。？矩形槽示意图？。。。
图9.8（a），（b）
....
列出 。。。？（算式）？。。。（9.45）
方程式右边为一个无限系列，而左边是一个常数。
....
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章9 静态和类静态场 Pg.352
....
。。。？（积分算式）？。。。
....得。。。？（积分算式）？。。。
....得槽内势能为
。。。？V=（算式）？。。。 （9.46）
槽内各点的势能数值可以计算出来了，并可以画出等势线..., 电场线画出正交于等势线，...
示意图如图9.8（b）。
9.4 拉普拉斯方程的计算机解答
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在前面的章节里我们演示了在x和y直角坐标里的两维度拉普拉斯方程式的解答。这里本章节我们将讨论两维度拉普拉斯方程的近似解答
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章节9.4 拉普拉斯方程的计算机解答 Pg.353
其形成了适配于数字计算机的基础。为了演示近似解答的原理，让我们假设我们知道V1，2，3和V4的势能，从一个点？P（0,0,0）在四个等距离的点， 并且处于相互垂直的轴上， 我们称其为x和y，通过？P如图9.9所示。我们希望找到在P点的？V0表示为V1，2，3，V4。
。。。？示意图？。。。
图9.9. 在两维度的拉普拉斯方程式的近似解答的原理的演示。
假设在z方向？V没有变化，我们要求
。。。？二次两维齐次偏微分方程=0？。。。 （9.47）
解答这个方程式的近似V0， 我们解到
。。。？二次两维齐次偏微分方程求解推导？。。。（9.48a）
类似地， 。。。？二次两维齐次偏微分方程求解推导？。。。（9.48b）
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章节9. 静态和类静态场 Pg.354
把（9.48a）和（9.48b）代替入（9.47）并重新排列， 我们得到
。。。？V0=~1/4（V1+V2+V3+V4）？。。。 （9.49）
....
。。。？（示意图）?。。。
图9.10. 两维度拉普拉斯方程式的计算机解答。
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章节9.4 拉普拉斯方程式的计算机解答 Pg.355
（9.44）
..............
..............
由此让我们找到与（9.49）一致的未知势能的实际值。要这样做我们列出了一组同时方程给这些势能， 通过应用（9.49）在槽内的每一个网格点上。所以标记
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本章9 静电和类静电场 Pg.356
未知势能为？Vij，i,j=1,2,3，如图9.10所示， 我们得到九个方程的一个组以矩阵形式
。。。？（九方程矩阵组）？。。。 （9.50）
矩阵方程（9.50）可以直接逆反， 由于它仅仅包含一个9X9的矩阵。 可想象如果网格点数大的情况。例如，甚至对于一个16X16方格的网格， 将有必要逆反225X225的矩阵! 而庆幸的是没必要直接逆反矩阵。 我们演示可见（9.50）的隔离化，它可以紧凑地列出
。。。？[MUMV123]（矩阵）?。。。 （9.51）
这里 。。。？[MUVi](矩阵阵列运算)？。。。
（9.52a，b，c和d）
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本章节9.5 通过类静电学的低频性能 Pg.357
从（9.51）， 我们可以接着写出：
。。。？U123V123M123（算式）？。。。
（9.53a）
（9.53b）
（9.53c）
替代？M和Vg在（9.53c）从（9.52a）和（9.52d）相应地， 并简化，我们得到
。。。？[V313233]=（三维矩阵）？。。。 （9.54）
所以，我们已经把问题简化成一个3X3的逆矩阵。 逆向3X3矩阵并进行矩阵相乘在右手边（9.54），我们得到值？V31，V32和V33。 那么剩余的值可以从（9.53a）和（9.53b）找到。 结果显示在第四行的数，如图9.10网格点的边上。现在可以看到通过比较第二第三行的值与第四行，计算机循环法确实收敛接近于实际解与（9.49）一致， 如指定的允许误差减少。为了得到一个解答接近于实际的解析解，我们必须减少网格点之间的间隔。例如， 对于一个8X8网格的小方形， 通过循环法获得的解答给一个0.01V的最大误差，如图9.10中的最后行的数组所示。
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附录C. 单位和尺寸 （本表格符合国际标准） Pg.449
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早在1960年法国巴黎，举办了关于重量和测量的第十一次总大会，国际单位系统有了正式的资格。这个单位系统是扩展版本，合理化的米-公斤-秒-安培（MKSA）单位系统，并基于六个基本和基础的单位。这六个基本单位是单位：长度，质量，时间，电流， 温度，和照明亮度。
长度的国际单位是米。它实际上是1,650,763.73（约一百六十五万）倍真空中的辐射波长，对应于氪-86原子的能级？2p10和？5d5之间的稳定过渡，黄红线。质量的单位是公斤。 它是国际典型的公斤质量， 它是一个特殊的圆柱，铂铱合金由国际重量和测量局保存在法国塞福勒地下室里。时间的国际单位是秒。 它等于9,192,631,770（约九十一多亿）倍频率周期，对应于之间的过渡，高精度能级？F=4，M=0和？F=3，M=0基础能态？2S1/2，铯133原子稳定的外部场。
表达国际电流单位的定义， 我们首先定义牛顿， 即离得单位， 推导来至基础单位米，公斤，和秒，以下列形式。由于速度是距离随时间的变化率， 它的单位是米每秒。而加速度是速度随时间的变化率，它的单位是米每秒每秒或者米每秒平方。由于力是质量乘以加速度，
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附录 C 单位和尺寸 APP.C Pg.450
它的单位是公斤米每秒平方， 还已知为牛顿。所以牛顿是力作用一米每秒平方的加速度对一公斤的质量。电流的国际单位， 是安培现在定义。 它是常电流，保持在两条直，无限长，平行的导体之间，横截面可忽略，且相距一米，在真空中相距一米， 产生一个力为2*10**-7牛顿每米导体长度。
温度的国际单位是开尔文度。它是基于温度的热动力学尺度的定义，方式为水的三点作为一个固定的基础点，归属于一个准确的273.16开氏度温度。 发光亮度的国际单位是坎德拉。它是这样定义，一件黑体在铂金结冰温度辐射的亮度是60坎德拉每平方厘米。
我们刚刚定义了六个单位的国际系统的基本单位。两个互补的单位是相应的平面的弧度和固体的球面度。所有其它的单位是推导出的单位。例如，电荷的单位是库伦传输的电荷量在一秒内经一安培的电流；做功的能量单位是焦耳，一个1牛顿的力作用在一点上，在作用力方向的位移距离为1米；功率的单位为瓦特它是产生能量的速率，1焦耳每秒；电势能差的单位是伏特，是两点之间的电势差，导线两点之间导通1安培的电流，当这些点之间消耗的功率是等于1瓦特；等等。 .....
.....................
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附录 C 单位和尺寸 APP.C Pg.451
。。。？vp=1/（u0e）**1/2（算式）？。。。
我们知道？vp的尺寸是？LT**-1。 所以我们必须显示？1/u0e0**1/2的尺寸也是？LT**-1。 要这样做， 我们由哥伦布定律写下
。。。？e0=Q12/4πFR2？。。。
所以？e0的尺寸是？Q2/[(MLT**-2)(L**2)]或者？M**-1*L-3*T**2*Q**2。 我们写下，从力的安培定律应用于两个相互平行的微小电流元素及垂直于连接它们的连线，
。。。？u0=4πFR**2/（I1dl1）（I2dl2）？。。。
由于？u0的尺寸是？[(MLT-2)(L2)]/(QT-1L)**2或者？MLQ-2。我们现在得到？/u0e01的尺寸为？1/MLTQMLQ**1/2或者？LT-1，它等于？vp的尺寸。
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表C.1. 符号，单位， 和不同量的尺度
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量 符号 单位 尺度
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。。。？（本表格）？。。。
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附录 C 单位和尺寸 APP.C (续) Pg.452
表C.1（续）. 符号，单位，和不同量的尺度
。。。？（本表格续1）？。。。
********************************************
附录 C 单位和尺寸 APP.C (续) Pg.453
表C.1（续）. 符号，单位，和不同量的尺度
。。。？（本表格续2）？。。。
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附录 A/拉普拉斯变换对子 Pg. 451aa1
表A.1
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F(s) f(t), t>=0
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1234567890...................
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附录 B Pg. 453-ab1
表B.1 符号和单位
--------------------------------------------------
参数或者变量名 符号 SI 英语
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SI=国际单位制
加速度， 角
加速度，过渡 。。。。。。
摩擦，旋转
摩擦，过渡
惯量，旋转 。。。。。。
质量
位置，旋转
位置，过渡
速度，过渡 。。。。。。
力矩
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粤港澳大湾区
2020-8-14
