计算机数学数值方法概念及机器人轨迹控制中点插补与三次样条函数
（内容附图页码一致，图文并茂）
在机器人轨迹控制中，有用到点插补和三次样条函数， 计算机数学数值方法使之便于实现。
章节20.0 章数值方法应用数学1048 页
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20.0 简介
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大多数在工程和物理学科中出现的数学问题会常常在教科书中找到好的答案.寻找多项式的根,估算定积分,求解初始值,寻找一个矩阵的特征值,求解微分方程的初始和边界值,以及其它重要的问题通常没有完整的格式,而唯一再顶路径是解决方案的一些渐进数字值.这种技巧的发展区域是数值方法,之前超出我们的能力的许多问题可以获得高精度的解决.数值方法的深度处理要求许多容量,关注误差边界和估算,方法的稳定性和收敛,以及在计算阶段引入的机器误差.我们试图处理所
有这些问题在这一小章内.除外,我们选择了一些经常遇到的难题,对它们的算法数值渐进可以提出无需大量的背景知识,章节内包含有要考虑的问题的描述,一种数值解决方案的方法,并且有一个或者多个例子展示实现的方法.我们试图描述每个案例便于在一台电脑上实现. 这一章节的工作需要有一定的电脑水平.
最后,章节的内容相互独立,无需按顺序阅读.
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章节20.3 多项式插补应用数学1058 页
插补的问题追溯到至少欧拉(十八世纪),当时试图建立椭圆轨迹,来自观察的星球的位置表.
一般地讲，我们这里呈现的插值问题如下：给出n+1 个点坐标， 确定一个平滑的函数y=f（x）
这样（请见原文附图如下）。这里平滑的意思是可以微分两次，但是在特殊情形可以理解为可以微
分几个数组次。
对于n 次度的多项式插补，我们试图找到一个n 次度的多项式p（x）通过经由给出的点并用于f
（x）。找p（x），写下， （请见下述原文）。。。。，这给我们提供了（n+1）方程式解决p（x）
的n+1 个系数。
例517
假设已知点如下，六个，。。。由于我们有六个点，所以我们使用一个5 次度的多项式。
P（x）=a12345，x012345.（请见下述原文）。
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章节数值微分应用数学1059 页
这个多项式通过6 个已知点,我们要求, （请见下述原文） ，
求解得出f（x），
对于-1
所以我们取f（-0.9）接近1.6952.
章节20.3 的问题
在问题1 至15 中，使用n 次度的多项式插补（这里n+1 是已知的数据点数）求出要求的x 值得f
（x）函数。在求解函数值时计算到小数后四位。1,2345678.。。。131415，最多九个已知点。
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20.5 数值方法三次样条函数应用数学1063 页
有些工程师使用细棍子称作样条一根根地去逼近平滑的曲线穿过已知的点。由于这个原因，术语
样条还可应用于数学的曲线拟合问题， 我们这考虑。
假设我们给出一个函数f（x）其中a《x《b。假设(a,b)分割成下述点的子区间，（请见下述原文）
我们通过一个多项式在每一个子区间上寻找接近函数f（x）。允许使用不同的多项式给每个子区
间， 但是我们必须小心使用的多相式在连续的区间拟合的多相式的结果函数是两次可微分的。如
果使用的多相式是3 次度或少，那么我们称此函数，由多相式一件件连在一起，为三次样条函数。
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章节20 数值方法应用数学1064 页
我们通常指定P'(a)= f’（a）及P’（b）=f’（b）。为此，总结，我们由下列条件确定P（x）：
1,2,3,4 （请见下述原文）
最后的条件意思是， 在xj， 这里pj（x）和pj+1（x）必须合在一起，我们要求这两个多项式一
致，即它们的一次微分相同，并且再次微分也相同。
这些条件使得我们求解的方程式，对于aj，bj，cj，和dj，给出P（x）部分处于每个（xj-1，xj）
区间内。
例522
让f（x）=e**2x， 这里0《x《3. 我们应该插入分割点x1=1， 和想x2=2 并使x0=0 和x3=3. 这
里，n=3.
让
p1（x）=。。。。。
p2（x）=。。。。。
以及p3（x）=。。。。。。（请见附图原文）
我们要求解12 个未知数， 即abcd123， 首先我们需要，p（0）
。。。。。
则p（1）,2
。。。。。。
以及p（3）
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章节三次样条曲线应用数学1065 页
这里给出我们下列六个方程式: （请见下述原文）
下面,我们要求, P’(0)=f’(0)及P’（3）=f’（3）.
所以，。。。。
给了我们两个更多的方程式。它们是：
b1=2
b3=2e**6=806.8575870
我们已经使用了条件pj（xj）=pj+1（xj），这里j=1,2. 但是我们还需要
pj’（xj）。。。。。。。
这样有多给了我们四个方程式：（请见下述原文）
。。。。。。。
我们现在有12 个线性方程式在12 个未知数中。实际上， 情况不是那么差，因为我们知道
abc123 在这些方程式中。把这些已知值放在九个未知数的九个方程式中。它们是：
（请见下述英文原文）
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章节20 数值方法应用数学1066 页
这些答案是
abc123.。。。（请见下述原文）
所以,P(x)由三次方的多项式组成,
章节20.5 问题
在问题1 至10 中， 在已知区间内的已知函数，给出三次样条函数逼近， 使用区间的指出的
隔离点。
12345678910，f（x），（请见原文如下）
11. 让P（x）是f（x）在（a，b）区间的三次样条函数逼近，这里间隔a=x012345678n，n-1
假设P’（a）=f’（a）以及P’（b）=f’（b）.
假设。。。。（a）证明，（b）证明。。。（请见下述原文）
为此， 积分左边部分，并微分右边。
12. 确认本章内容中提出的四个条件， 给于P（x）以确定P（x）。。。
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内容附图如下，形象生动，符合国际标准：
轨迹控制中点查补和三次样条函数，
计算机数学数值方法概念导论
大湾区
2020-8-4
