Matlab优化工具箱学习

一直知道matlab的优化工具箱，可是一直都没有学习，Matlab提供的功能主要有线性规划、非线性规划、极值问题等，这些也是比较常见的优化问题。优化工具箱概述 1.MATLAB求解优化问题的主要函数 2.优化函数的输入变量使用优化函数或优化工具箱中其它优化函数时, 输入变量见下表: 3. 优化函数的输出变量下表:4．控制参数options的设置Options中常用的几个参数的名称、含义、取值如下:(1)   Display: 显示水平.取值为’off’时,不显示输出; 取值为’iter’时,显示每次迭代的信息;取值为’final’时,显示最终结果.默认值为’final’.(2)   MaxFunEvals: 允许进行函数评价的最大次数,取值为正整数.(3)  MaxIter: 允许进行迭代的最大次数,取值为正整数控制参数options可以通过函数optimset创建或修改。命令的格式如下：(1) options=optimset(‘optimfun’)   创建一个含有所有参数名,并与优化函数optimfun相关的默认值的选项结构options.（2）options=optimset(‘param1’,value1,’param2’,value2,...)   创建一个名称为options的优化选项参数,其中指定的参数具有指定值,所有未指定的参数取默认值.(3)options=optimset(oldops,‘param1’,value1,’param2’,            value2,...)   创建名称为oldops的参数的拷贝,用指定的参数值修改oldops中相应的参数.例：opts=optimset(‘Display’,’iter’,’TolFun’,1e-8)  该语句创建一个称为opts的优化选项结构,其中显示参数设为’iter’, TolFun参数设为1e-8. 用Matlab解无约束优化问题 一元函数无约束优化问题常用格式如下：（1）x= fminbnd (fun,x1,x2)（2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options)（3）[x，fval]= fminbnd（...）（4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（...）（5）[x，fval，exitflag，output]= fminbnd（...）其中（3）、（4）、（5）的等式右边可选用（1）或（2）的等式右边。   函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解。例1 求在0主程序为wliti1.m:        f='2*exp(-x).*sin(x)';        fplot(f,[0,8]);         %作图语句        [xmin,ymin]=fminbnd (f, 0,8)        f1='-2*exp(-x).*sin(x)';        [xmax,ymax]=fminbnd (f1, 0,8)运行结果：          xmin = 3.9270        ymin = -0.0279          xmax =  0.7854       ymax =  0.6448 例2  对边长为3米的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？   先编写M文件fun0.m如下:  function f=fun0(x)  f=-(3-2*x).^2*x;主程序为wliti2.m:  [x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5);  xmax=x  fmax=-fval运算结果为: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的边长为0.5米时水槽的容积最大,最大容积为2立方米.2、多元函数无约束优化问题标准型为：min F(X)命令格式为:（1）x= fminunc（fun,X0 ）；或x=fminsearch（fun,X0 ）（2）x= fminunc（fun,X0 ，options）；     或x=fminsearch（fun,X0 ，options）（3）[x，fval]= fminunc（...）；     或[x，fval]= fminsearch（...）（4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）；     或[x，fval，exitflag]= fminsearch（5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）；     或[x，fval，exitflag，output]= fminsearch（...）说明:•    fminsearch是用单纯形法寻优. fminunc的算法见以下几点说明：[1] fminunc为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法。由options中的参数LargeScale控制：LargeScale=’on’(默认值),使用大型算法LargeScale=’off’(默认值),使用中型算法[2] fminunc为中型优化算法的搜索方向提供了4种算法，由    options中的参数HessUpdate控制：HessUpdate=’bfgs’（默认值），拟牛顿法的BFGS公式；HessUpdate=’dfp’，拟牛顿法的DFP公式；HessUpdate=’steepdesc’，最速下降法[3] fminunc为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法，    由options中参数LineSearchType控制：LineSearchType=’quadcubic’(缺省值)，混合的二次和三次多项式插值；LineSearchType=’cubicpoly’，三次多项式插•    使用fminunc和 fminsearch可能会得到局部最优解.例3 min f(x)=(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)*exp(x1)1、编写M-文件 fun1.m:    function f = fun1 (x)    f = exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); 2、输入M文件wliti3.m如下:       x0 = [-1, 1];       x=fminunc(‘fun1’,x0);       y=fun1(x)3、运行结果:       x=   0.5000     -1.0000       y =   1.3029e-10 例4   Rosenbrock 函数 f（x1，x2）=100（x2-x12）2+(1-x1)2      的最优解（极小）为x*=（1，1），极小值为f*=0.试用      不同算法（搜索方向和步长搜索）求数值最优解.          初值选为x0=（-1.2 , 2）. 1.为获得直观认识，先画出Rosenbrock  函数的三维图形,  输入以下命令：     [x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-1:0.1:3);     z=100*(y-x.^2).^2+(1-x).^2;     mesh(x,y,z)2. 画出Rosenbrock  函数的等高线图,输入命令：     contour(x,y,z,20)     hold on     plot(-1.2,2,' o ');     text(-1.2,2,'start point')     plot(1,1,'o')     text(1,1,'solution')3.用fminsearch函数求解输入命令:   f='100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2';   [x,fval,exitflag,output]=fminsearch(f, [-1.2 2])运行结果:       x =1.0000    1.0000fval =1.9151e-010exitflag = 1output =             iterations: 108             funcCount: 202            algorithm: 'Nelder-Mead simplex direct search' 4. 用fminunc 函数(1)建立M-文件fun2.m          function f=fun2(x)          f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2(2)主程序wliti44.mRosenbrock函数不同算法的计算结果可以看出，最速下降法的结果最差.因为最速下降法特别不适合于从一狭长通道到达最优解的情况.例5  产销量的最佳安排    某厂生产一种产品有甲、乙两个牌号，讨论在产销平衡的情况下如何确定各自的产量，使总利润最大. 所谓产销平衡指工厂的产量等于市场上的销量.   符号说明z(x1,x2)表示总利润；p1，q1，x1分别表示甲的价格、成本、销量；p2，q2，x2分别表示乙的价格、成本、销量；    aij，bi，λi,ci（i，j =1，2）是待定系数.基本假设1．价格与销量成线性关系利润既取决于销量和价格，也依赖于产量和成本。按照市场规律，甲的价格p1会随其销量x1的增长而降低，同时乙的销量x2的增长也会使甲的价格有稍微的下降，可以简单地假设价格与销量成线性关系，即：   p1 = b1 - a11 x1 - a12 x2 ，b1，a11，a12 > 0，且a11 > a12；同理， p2 = b2 - a21 x1- a22 x2 ，b2，a21，a22 > 02．成本与产量成负指数关系甲的成本随其产量的增长而降低,且有一个渐进值,可以假设为负指数关系,即:         同理，    模型建立总利润为： z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2若根据大量的统计数据,求出系数b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,a21=0.2,a22=2,r1=30,λ1=0.015,c1=20, r2=100,λ2=0.02,c2=30,则问题转化为无约束优化问题：求甲,乙两个牌号的产量x1，x2，使总利润z最大.为简化模型,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,问题转化为求:        z1 = ( b1 - a11x1 ) x1 + ( b2 - a22x2 ) x2的极值. 显然其解为x1 = b1/2a11 = 50, x2 = b2/2a22 = 70,我们把它作为原问题的初始值.模型求解1.建立M-文件fun.m:       function f = fun(x)      y1=((100-x(1)- 0.1*x(2))-(30*exp(-0.015*x(1))+20))*x(1);      y2=((280-0.2*x(1)- 2*x(2))-(100*exp(-0.02*x(2))+30))*x(2);      f=-y1-y2;2.输入命令:      x0=[50,70];      x=fminunc(‘fun’,x0),      z=fun(x)3.计算结果:      x=23.9025, 62.4977,  z=6.4135e+003  即甲的产量为23.9025,乙的产量为62.4977,最大利润为6413.5. 二次规划 用MATLAB软件求解,其输入格式如下:   1.      x=quadprog(H,C,A,b);   2.      x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq);   3.      x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB);   4.      x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0);   5.      x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0,options);   6.      [x,fval]=quaprog(...);   7.      [x,fval,exitflag]=quaprog(...);   8.      [x,fval,exitflag,output]=quaprog(...);例1    min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22         s.t.   x1+x2≤2                -x1+2x2≤2                x1≥0, x2≥01、写成标准形式： 2、 输入命令：     H=[1 -1; -1 2];      c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2];      Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[];      [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)3、运算结果为：     x =0.6667  1.3333   z = -8.2222 一般非线性规划 标准型为：　　　min F(X)        s.t AX<=b       G(X)            Ceq(X)=0    VLBXVUB其中X为n维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成的向量，其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同.用Matlab求解上述问题，基本步骤分三步：1. 首先建立M文件fun.m,定义目标函数F（X）:function f=fun(X);f=F(X);2. 若约束条件中有非线性约束:G(X)或Ceq(X)=0,则建立M文件nonlcon.m定义函数G(X)与Ceq(X):function [G,Ceq]=nonlcon(X)G=...Ceq=...3. 建立主程序.非线性规划求解的函数是fmincon,命令的基本格式如下：       (1)  x=fmincon(‘fun’,X0,A,b)   (2)  x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq)   (3)  x=fmincon(‘fun’,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB)         (4) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’)(5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)                (6) [x,fval]= fmincon(...)      (7) [x,fval,exitflag]= fmincon(...)  (8)[x,fval,exitflag,output]= fmincon(...)注意： [1] fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法。默认时，若在fun函数中提供了梯度（options参数的GradObj设置为’on’），并且只有上下界存在或只有等式约束，fmincon函数将选择大型算法。当既有等式约束又有梯度约束时，使用中型算法。[2] fmincon函数的中型算法使用的是序列二次规划法。在每一步迭代中求解二次规划子问题，并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩阵。[3] fmincon函数可能会给出局部最优解，这与初值X0的选取有关。例2 s.t. 2、先建立M-文件 fun3.m:    function f=fun3(x);    f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)^2+(1/2)*x(2)^23、再建立主程序youh2.m：        x0=[1;1];     A=[2 3 ;1 4]; b=[6;5];     Aeq=[];beq=[];     VLB=[0;0]; VUB=[];   [x,fval]=fmincon('fun3',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)4、运算结果为：   x = 0.7647       1.0588   fval =   -2.0294  例3  1．先建立M文件 fun4.m,定义目标函数:      function f=fun4(x);        f=exp(x(1))       *(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);2．再建立M文件mycon.m定义非线性约束：      function [g,ceq]=mycon(x)      g=[x(1)+x(2);1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10];3．主程序youh3.m为:x0=[-1;1];A=[];b=[];Aeq=[1 1];beq=[0];vlb=[];vub=[];[x,fval]=fmincon('fun4',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon')3. 运算结果为：       x = -1.2250    1.2250       fval = 1.8951例4．资金使用问题设有400万元资金, 要求4年内使用完, 若在一年内使用资金x万元, 则可得效益万元(效益不能再使用),当年不用的资金可存入银行, 年利率为10%. 试制定出资金的使用计划, 以使4年效益之和为最大.设变量表示第i年所使用的资金数,则有         1．先建立M文件 fun44.m,定义目标函数:

       function f=fun44(x)