机器人的方位控制之坐标系统和动作方向的向量分析简述

机器人的方位控制之坐标系统和动作方向的向量分析简述
  （内容附图页码一致，生动形象）
机器人本体及执行器机构采用的多种坐标系统与其动作控制中的向量分析简述示意：
1. (15-1) 向量场介绍 (Introduction : Vector Fields)
.......... 力：    (4a)
这里G是重力常数，及是一个单位向量从P指向O。位置向量是 , 为此，我们发现
   (4b)
图15-3 例4.中重力场的一些向量
给出了问题中的重力场。它的图形会包括无限多的向量，每个从起点P开始（原点除外），并且直线指向原点。如果P较为靠近原点，相关的向量比远离原点O的更长。对于通过原点的一条射线的P点，F向量会沿着相同的射线，长度减少正比于距离原点长度的平方。图15-3.显示了这个重力场的部分内容。如您见图所示，您也应该想象重力F向量附加在P不等于原点O的点，并不仅仅是哪些显示的。在球面的点 , 向量都具有相同的长度，并且所有的点指向地球中心。
从数学上讲，一个向量场F（x，y，z）不必要是一个速度场或者一个力场。建立一个向量场的一个简单方法是给一个尺度函数施加等级操作数。例5.假设空间里的一些区域中每个点P（x,y,z）的温度T是    (5a)
且F（x,y,z)被定义为T的等级：。（5b）
找到这个向量场并且讨论一下它的特性。
解答：从T的等级的定义我们得到
（5c）
这里，
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2. 528 向量和参数方程 11章(Vectors and Parametric Equations)
在椭圆抛物体内，设b=a，得到方程（4）。垂直于z轴平面的横截面是以z轴为中心的园。含有z轴的平面的横截面是全等的抛物线，在点( ）有一个相同的焦点。在圆柱形坐标中，（5a）成为
                           (5b)
从园形抛物体切出的形状被用于无线电望远镜的天线，卫星跟踪器，和微波无线链接（图11-55）。图11-55. 抛物体旋转件形成天线。（a）无线电望远镜与光学望远镜使用相同的原理。（b）一个“矩形切出”的雷达反射器。（c）一个微波无线链接中的号角形天线。
例4。椭圆锥（图11-56）
                  (6)
相对于所有三个坐标平面是对称的。平面z=0在单点（0,0,0）切开表面。平面x=0在两条相交的直线把它切开
            (7)
并且当
            (8)
由一个平面z=z1>0切出的截面是一个中心在z轴的椭圆，并且顶点在直线（7）和（8）上。事实上整个表面由一条直线L产生，它穿过原点和椭圆上的一个Q点    图11-56 椭圆锥。
当Q点跟踪椭圆时，无限长线L产生了表面，它是一个圆锥带椭圆截面。看一下为什么，假设是表面上的一个点，且t是任何尺度。那么从O到直接是t倍的 , 所以当t变化时。。。。。
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3.（11-4）空间坐标(Space Coordinates)
方程r=常数描述了一个半径为r的正圆柱，它的轴是z轴， r=0是z轴本身的方程。方程θ ( )=常数描述了一个包含有z轴的平面并且与xz平面形成一个0-角（图11-24）。（有些作者要求圆柱坐标中的r值为非负值。在这种情况下，方程θ( )=常数了一个从z轴扇出的半平面。）
在一个物理问题中当有一条对称轴时，圆柱形坐标是方便的。图11-24. 在圆柱坐标中一些平面和圆柱有简单的方程。图11-25. 球形坐标图11-26. 在球形坐标中，中心均在原点的球形和锥形有简单的方程
C. 球形坐标
当我们取对称的中心为原点时，球形坐标很有用。球形坐标(ρ,,θ)( )如图11-25所示。第一个坐标是原点到P的距离。他绝不是负的。方程ρ( )=常数描述半径为ρ( )的一个球形表面中心为0（图11-26）。第二个球形坐标，φ ( )，是从z轴向线OP测量的角。方程φ ( )描述=常数描述了顶点在0的一个圆锥,轴为Oz,而且产生φ ( )角，我们对坐标了解得更多了。。。。
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4.11章498 向量和参数方程 11章(Vectors and Parametric Equations)
11-4 空间坐标 A.直角坐标  图11-22显示了一个轴相互垂直的坐标系统，Ox，Oy，及Oz。系统被称为右手的，是因为一只右手螺纹的螺钉沿Oz，从Ox向Oy以一个角度拧紧时，例如90度。空间的一个点P（x，y，z）的直角坐标可以从坐标轴通过P穿越平面相互垂直，读取。x轴上的点它们的y-，z-坐标均为零。即，它们的坐标形式为（x，0,0）。平面上的点垂直于z轴，即均有相同的z-坐标。在平面上垂直于z轴的点，在xy平面5个单元之上，其所有的坐标形式为（x,y,5）. 我们可以写出这个平面的方程式为z=5。三个平面，x=2, y=3, z=5在点P（2,3,5）相交。通过设x=0可以得到y平面。三个坐标平面x=0， y=0,z=0把空间分成八个单元，称作8象。其中所有坐标均为正值的一象为第一象，其余的7个象没有常规的编号。图11-22 右手坐标系统。
B.圆筒形坐标    11-23 圆筒坐标。
在定位空间的一个点时，使用圆筒坐标(r,θ,z)( )常常会很方便。这些仅仅是极性坐标(r,θ)( )用于替代z=0平面的（x，y），与z坐标耦合。圆筒和直角坐标通过类似的方程关联（图11-23）
(1)
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5. 附录A. 圆柱和球形坐标系统 45？(Cylindrical and Spherical Coordinate System)
...... 和是无限的小。三个微分长度元素形成这个盒子的相邻边长，和。为此从P到O的微分长度向量dI由下式给出
由微分长度元素形成的微分表面是
最后，由三个微分长度形成的微分体积dv简单地为盒子的体积，即，
对于球形坐标系统，三个相互垂直的表面是一个球，一个锥形，和一个平面，如图A.2（a）所示。在圆柱坐标系统中，平面与φ( )=常数平面相同。图A.2. 球形坐标系统。（a）正交表面和单位向量。（b）坐标渐进时形成的体积。
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6. 天线,常相表面
图4.14.远离一台实际天线的电磁波辐射
149页  4.6节坡印亭向量和能量储存(Poynting Vector and Energy Storage)
例4.5. 远离一只实际的天线，即，离开天线几个波长的一段距离，辐射的电磁波大约是均匀的平面波，而它们的常相表面垂直于天线的辐射方向，如图4.14所示的两个方向。我们希望从坡印亭向量和物理考虑来显示天线的电磁场变化反比于远离天线的辐射距离。从一个均匀平面波的电磁场考虑，坡印亭向量在辐射方向到处都指向了从天线的辐射开来的功率流，并且正比于电场强度的幅度的平方。现在让我们考虑两个半径为和的球面，并在天线对中，再在这两个表面插入一个锥形，以使顶端（vertex）在天线上，如图4.14所示。然后穿过锥形内半径的球面部分的功率必须是与穿过锥形内半径的球面部分的功率相同。由于这些表面区域正比于半径的平方，并由坡印亭向量的表面积分给出功率，该坡印亭向量必须是反比于半径的平方。这依次意味者电场强度而为此磁场强度必须是与半径成反比。
所以从这些简单的考虑我们已经建立了，远离一个辐射天线的电磁场反比于离开天线的径向距离。这个场强的减少反比于距离命名为“自由空间减少”。
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7. 一个函数的变化率(The Rate of Change of a Function)
   ........在b点垂直于y轴画出，它们的焦点标记为P（a，b）。数值a是P的x坐标，而数值b是P的y坐标。这对（a，b）被称作P点的坐标对。注意（a，b）是一个有次序的对子；我们首先列出x坐标，然后y坐标。
确认没有漏掉平面上的任何点，我们可以从任何P点通过它开始画出线条，垂直于这两个轴。如果这两条垂直线在a和b通过x和y轴，那么P已经定义为坐标对（a，b）。
点不可以定义为多于一个的坐标对；当我们把垂直线从P（a，b）放下到轴上，垂直线必须与轴在a和b相会。仅仅一条垂直线可以从一个点画到一条线。
两条轴把一个平面划分成四个象限，称为第一象限，第二象限，和等等，如图1-2。  图1-2 四个象限
有时测量x和y使用的单位之间没有任何物理关系。例如， y是最大的分钟数，一位潜水员可以停留在x轴的一个深度，上浮时无需解压进气，那么x轴上的数“1”代表一米，而y轴上的数“1”代表一米。明显地，没有必要把两个1标记为相同的毫米数，或者无论任何，从原点开始。
在勘察时，从另一个方面讲，一脚从北和南测量应该与从东和西相同。由于这个原因，一般地假定在三角学中两个轴的长度的单位是相同的。我们在几何分析中也做相同的假设。
在这本书中，如果给出的坐标点没有带任何物理单位，假设在这两个轴上的尺度是相同的。特别地讲，做出的这种假设用于我们的工作的任何地方，包含了线条和一条线段与轴不平行而成的夹角。
问题
在下列每个问题中（1-12），首先画出一对坐标轴。然后绘制给出的点P（a,b）并绘制：
a）Q点使PQ垂直于x轴，并且被它分开。给出Q的坐标。（P和Q相对于x轴对称）。
b）点R使PR垂直于y轴并由它分开。给出R的坐标。（P和R相对于y轴对称）。
c）点S使PS由原点分开。给出S的坐标。（P和S相对于原点对称）。
d）点T使PT垂直于并由其分开的一条通过原点并分开第一和第三象限的45°直线，假定轴上的单位相同。（P和T相对于L对称）。
1.(1,-2)             2.(2,-1) 3.(-2,2)
4.(-2,1) 5.(0,1)                6.(1,0)
7.(-2,0)             8.(0,-3)             9.(-1,-3)
(π)
12.(-15,2.3)
13. 如果P=P（x，y），那么在上述（a）描述的点Q可以用x，y项表达为（x， -y）。用x和y项表示R，S和T的坐标。
在问题14-17中，在两个轴上的长度采用相同的单位。
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8. 章15 向量分析(Vector Analysis)
假设一个三维空间的G区域充满了一种移动的流体：空气，例如，或者水。我们会想象流体由无限数目的颗粒组成，并且在时间t，在那个时刻在位置P的点具有一个v的速度。如果我们停留在P并且观察通过它的新的颗粒，我们可能会见到他们会有不同的速度。这一定是真的，例如，在狂风暴雨的海面上的波动。再之，我们给相同时刻不同位置具有不同速度的许多颗粒拍张照，我们会期望到这些速度一点到另一点都不同。所以在时间t位置P的速度，一般地讲，位置和时间两者的一个函数：δ=δ(x,y,z,t)( ) （1）
方程式（1）指示速度v是一个向量函数F，有四个独立的变量x，y，z和t。这样的函数有许多应用，特别是在处理物质流动时。例如在流体动力学中，如果b-=b-（x，y，z，t）是在时间t，在（x，y，z）流体的密度，并且我们以分量表达速度， F=iu+jv+kw，那么我们能够推导运动的连续性的欧拉(Euler)偏微分方程：
(我们不准备详细处理这个项目；我们提及是由于在这一章中呈现的一个场的理念很重要）。这些函数还应用于物理和电气工程，例如，在学习电磁波的传播中。另外，在应用数学的当前的研究活动中与这些函数相关。
稳态流动
在这一章中，我们仅仅处理的那些流动，其速度函数方程式（1），不取决于时间t。这些流动称作稳态流动。它们示例了向量场。
定义。如果，在一些区域G内的每个点P，指定了一个向量F(P)，所有这样的向量的集合称作一个向量场。
除了与流体流动相关的向量场之外，有些向量场关联了地球吸引重力，磁力场，电气场，和纯数学场。
例1. 想象一种理想的稳态流体在半径为a的一条长圆筒管内流动，所以离开长轴距离r的颗粒平行于轴以速度为流动(如图15-1)。通过一个v的公式描写这个场。
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* 一些流体动力学的定律可以在大不列颠百科全书中的一篇文章“流体动力学”中找到。
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