传输线内电磁波的反射和投射解析

　　关于传输线内电磁波的反射和投射：
　　设有两段无损传输线 1 和 2，其特征阻抗分别为 Z1 和 Z2（无损传输线特征阻抗为实数）。入射波（简谐行波）从 1 端馈入，入射波的电压和电流为：
　　Vi（t，x） = Va cos（ω t - k x）
　　Ii（t，x） = Ia cos（ω t - k x）
　　设反射和透射波为：
　　Vr（t，x） = Vb cos（ω t + k x + θ1）
　　Ir（t，x） = Ib cos（ω t + k x + θ1）
　　Vt（t，x） = Vc cos（ω t - k x + θ2）
　　It（t，x） = Ic cos（ω t - k x + θ2）
　　而且满足关系：
　　Va / Ia = Vb / Ib = Z1
　　Vc / Ic = Z2
　　其中，ω 为角频率，k 为波矢，θ1 和 θ2 为相位。
　　设两传输线在 x = 0 处连接。根据边界条件，存在下面关系：
　　Vi（t，0） + Vr（t，0） = Vt（t，0）
　　Ii（t，0） - Ir（t，0） = It（t，0）
　　求解两传输线交界处的反射系数（Γ）和透射系数（T）。具体按定义为：
　　Γ = Vr（t，0） / Vi（t，0）
　　T = Vt（t，0） / Vi（t，0）

　　解和分析：
　　一、确定 θ1 和 θ2
　　方法一：
　　由边界条件得以下二式：
　　Va cos（ω t） + Vb cos（ω t + θ1） = Vc cos（ω t + θ2） ①
　　Va cos（ω t） / Z1 - Vb cos（ω t + θ1） / Z1 = Vc cos（ω t + θ2） / Z2 ②
　　由① - （ ② Z2 ），得：
　　（1 - Z2 / Z1） Va cos（ω t） + （1 + Z2 / Z1） Vb cos（ω t + θ1） = 0
　　设 ω t = π / 2 得：
　　Vb （1 + Z2 / Z1） sin（θ1） = 0
　　因 Va （（1 + Z2 / Z1） ≠ 0（若 Vb = 0 则无反射），所以有 θ1 = 0。
　　由①，设 ω t = π / 2 且 θ1 = 0 得：
　　Vc sin（θ2） = 0
　　因 Vc ≠ 0（若 Vc = 0 则无透射），所以有 θ2 = 0
　　方法二：
　　用复指数表示边界条件得下二式：
　　Va e^（j ω t） + Vb e^［j （ω t + θ1）］ = Vc e^［j （ω t + θ2）］
　　Va e^（j ω t） / Z1 - Vb e^［j （ω t + θ1）］ / Z1 = Vc e^［j （ω t + θ2）］ / Z2
　　两边同乘 e^（-j ω t） 得：
　　Va + Vb e^（j θ1） = Vc e^（j θ2） ③
　　Va / Z1 - Vb e^（j θ1） / Z1 = Vc e^（j θ2） / Z2 ④
　　由③ - （ ④ Z2 ），得：
　　（1 - Z2 / Z1） Va + （1 + Z2 / Z1） Vb e^（j θ1） = 0
　　取虚部得（无损传输线的特征阻抗为实数，即 Z1 和 Z2 为实）：
　　（1 + Z2 / Z1） Vb sin（θ1） = 0
　　同上可知，θ1 = 0
　　代入③，取虚部得：
　　Vc sin（θ2） = 0
　　同样得，θ2 = 0
　　二、导出 Γ 和 T
　　由于 θ1 = 0 和 θ2 = 0，边界条件 ① 和 ② 为如下二式：
　　Va cos（ω t） + Vb cos（ω t） = Vc cos（ω t）
　　Va cos（ω t） / Z1 - Vb cos（ω t） / Z1 = Vc cos（ω t） / Z2
　　容易解得：
　　Γ = Vr（t，0） / Vi（t，0） = Vb cos（ω t） / ［Va cos（ω t）］ = Vb / Va = （Z2 - Z1） / （Z2 + Z1）
　　T = Vt（t，0） / Vi（t，0） = Vc cos（ω t） / ［Va cos（ω t）］ = Vc / Va = 2 Z2 / （Z2 + Z1）
　　三、分析
　　1）x 《 0 点上的反射系数
　　设 Γ（t，x） 为 x 点上的反射系数（定义为Vr（t，x） / Vi（t，x）），则有（注意这里采用复数形式表示）：
　　Γ（t，x） = Vr（t，x） / Vi（t，x） = {Vb e^［j （ω t + k x）］} / {Va e^［j （ω t - k x）］} = Γ e^（2 j k x）
　　显然，Γ（t，0） = Γ，即为交界点上的反射系数。容易看到，随着 x 点的移动，Γ（t，x） 在复平面上以原点为圆心，|Γ| 为半径的圆上移动。由于 k = 2 π / λ（λ 为波长），可见 Γ（t，x） 以 λ / 2（二分之一波长）为周期变化。相对于 |Γ| 在复平面上的同心圆称为驻波比圆。
　　2）x 《 0 点上的阻抗
　　设Z（x）为 x 点上的阻抗（定义为 （ Vi（t，x） + Vr（t，x） ） / （ Ii（t，x） - Ir（t，x ） ） ），则有：
　　Z（x） = （ Vi（t，x） + Vr（t，x） ） / （ Ii（t，x） - Ir（t，x ） ）
　　= Z1 （ 1 + Γ（t，x） ） / （ 1 - Γ（t，x） ）
　　= Z1 （ 1 + Γ e^（2 j k x） ） / （ 1 - Γ e^（2 j k x） ）
　　= Z1 （ （Z2 + Z1） e^（-j k x） + （Z2 - Z1） e^（j k x） ） / （ （Z2 + Z1） e^（-j k x） - （Z2 - Z1） e^（j k x） ）
　　= Z1 （Z2 cos（k x） - j Z1 sin（k x）） / （Z1 cos（k x） - j Z2 sin（k x））
　　= Z1 （Z2 - j Z1 tg（k x）） / （Z1 - j Z2 tg（k x））
　　设 d 为 x 点到原点（传输线界面）的距离，则有d = -x。代入得：
　　Z‘’（d） = Z（-d） = Z1 （Z2 + j Z1 tg（k d）） / （Z1 + j Z2 tg（k d））
　　显然，Z‘’（0） = Z2，即为传输线2的特征阻抗。
　　a）设 Z2 = 0（传输线一端短路），有：
　　Z‘’（d） = j Z1 tg（k d）
　　这是什么？当d 《 λ / 4 时，这是个“电感”。而且当接近四分之一波长时感抗非常大，意味着“电感量”特大。但一旦超过四分之一波长时，将变成了“电容”。
　　b）设 Z2 = ∞（传输线一端开路），有：
　　Z‘’（d） = Z1 / （j tg（k d））
　　这是什么？当d 《 λ / 4 时，这是个“电容”。而且当接近四分之一波长时容抗非常小，意味着“电容量”特大。但一旦超过四分之一波长时，将变成了“电感”。
　　c）设 d = λ / 4（传输线1长度为四分之一波长，即 k d = π / 2），有：
　　Z‘’（λ/4） = Z1 Z1 / Z2
　　可见，四分之一波长的传输线可将阻抗Z2变换成Z1^2 / Z2。通过适当选择Z1，原则上可将Z2变换成任意的阻抗。这就是常用的四分之一波长阻抗变换器。
　　分析到这里，传输线的特性和作用已可见一斑。当然，这只是传输线功能的冰山一角。传输线可谓是高频和微波（特别是微波）的一大 法 宝。